Тригонометрический ряд фурье. Метка: тригонометрический ряд Фурье Сходимость ряда Фурье в точке

По косинусам и синусам кратных дуг, т. е. ряд вида

или в комплексной форме

где a k , b k или, соответственно, c k наз. коэффициентами Т. р.
Впервые Т. р. встречаются у Л. Эйлера (L. Euler, 1744). Он получил разложения

В сер. 18 в. в связи с исследованиями задачи о свободном колебании струны возник вопрос о возможности представления функции, характеризующей начальное положение струны, в виде суммы Т. р. Этот вопрос вызвал острые споры, продолжавшиеся несколько десятилетий, лучших аналитиков того времени - Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д"Аламбера (J. D"Alembert), Ж. Лагранжа (J. Lagrange), Л. Эйлера (L. Eu1ег). Споры относились к содержанию понятия функции. В то время функции обычно связывались с их аналитич. аданием, что приводило к рассмотрению только аналитических или кусочно аналитических функций. А здесь появилась необходимость для функции, графиком к-рой является достаточно произвольная , построить Т. р., представляющий эту функцию. Но значение этих споров больше. Фактически в них обсуждались или возникли в связи с ними вопросы, связанные со многими принципиально важными понятиями и идеями математич. анализа вообще,- представление функций рядами Тейлора и аналитич. родолжение функций, использование расходящихся рядов, пределов, бесконечные системы уравнений, функций многочленами и др.
И в дальнейшем, как и в этот начальный , теория Т. р. служила источником новых идей математи. интеграл Фурье, почти периодические функции, общие ортогональные ряды, абстрактный . Исследования по Т. р. послужили исходным пунктом при создании теории множеств. Т. р. являются мощным средством представления и исследования функций.
Вопрос, приведший к спорам математиков 18 в., был решен в 1807 Ж. Фурье (J. Fourier), указавшим формулы для вычисления коэффициентов Т. р. (1), к-рый должен. представлять на функцию f(x):

и применившим их при решении задач теплопроводности. Формулы (2) получили название формул Фурье, хотя они встречались ранее у А. Клеро (A. Clairaut, 1754), а Л. Эйлер (1777) приходил к ним с помощью почленного интегрирования. Т. р. (1), коэффициенты к-рого определяются по формулам (2), наз. рядом Фурье функции f, а числа а k , b k - коэффициентами Фурье.
Характер получаемых результатов зависит от того, как понимается представление функции рядом, как понимается интеграл в формулах (2). Современный теория Т. р. приобрела после появления интеграла Лебега.
Теорию Т. р. можно условно разделить на два больших раздела - теорию Фурье рядов, в к-рой предполагается, что ряд (1) является рядом Фурье нек-рой функции, и теорию общих Т. р., где такое предположение не делается. Ниже указываются основные результаты, полученные в теории общих Т. р. (при этом множеств и измеримость функций понимаются по Лебегу).
Первым систематич. исследованием Т. р., в к-ром не предполагалось, что эти ряды являются рядами Фурье, была диссертация В. Римана (В. Riemann, 1853). Поэтому теорию общих Т. р. наз. иногда римановской теорией Т. р.
Для изучения свойств произвольного Т. р. (1) со стремящимися к нулю коэффициентами Б. Риман рассматривал непрерывную функцию F(х), являющуюся суммой равномерно сходящегося ряда

полученного после двукратного почленного интегрирования ряда (1). Если ряд (1) сходится в нек-рой точке хк числу s, то в этой точке существует и равна s вторая симметрич. функции F:

то это приводит к суммированию ряда (1), порождаемому множителями наз. методом суммирования Римана. С помощью функции Fформулируется принцип локализации Римана, согласно к-рому поведение ряда (1) в точке хзависит только от поведения функции Fв произвольно малой окрестности этой точки.
Если Т. р. сходится на множестве положительной меры, то его коэффициенты стремятся к нулю ( Кантора - Лебега). Стремление к нулю коэффициентов Т. р. следует также из его сходимости на множестве второй категории (У. Юнг, W. Young, 1909).
Одной из центральных проблем теории общих Т. р. является задача о представлении произвольной функции Т. р. Усилив результаты Н. Н. Лузина (1915) о представлении функций Т. р., суммируемыми методами Абеля - Пуассона и Римана, Д. Е. Меньшов доказал (1940) следующую теорему, относящуюся к наиболее важному случаю, когда представление функции f понимается как Т. р. к f (x)почти всюду. Для каждой измеримой и конечной почти всюду функции f существует Т. р., сходящийся к ней почти всюду (теорема Меньшова). Следует отметить, что если даже f интегрируема, то в качестве такого ряда нельзя, вообще говоря, взять ряд Фурье функции f, т. к. существуют ряды Фурье, расходящиеся всюду.
Приведенная теорема Меньшова допускает следующее уточнение: если функция f измерима и конечна почти всюду, то существует такая что почти всюду и почленно продифференцированный ряд Фурье функции j сходится к f(х)почти всюду (Н. К. Бари, 1952).
Неизвестно (1984), можно ли в теореме Меньшова опустить условие конечности функции f почти всюду. В частности, неизвестно (1984), может ли Т. р. сходиться почти всюду к
Поэтому задача о представлении функций, к-рые могут принимать бесконечные значения на множестве положительной меры, была рассмотрена для случая, когда заменяется на более слабое требование - . Сходимость по мере к функциям, к-рые могут принимать бесконечные значения, определяется так: частных сумм Т. p. s n (x)сходится по мере к функции f(х). если где f n (x)сходятся к / (х)почти всюду, а последовательность сходится по мере к нулю. В этой постановке вопрос о представлении функций решен до конца: для каждой измеримой функции существует Т. р., сходящийся к ней по мере (Д. Е. Меньшов, 1948).
Много исследований посвящено проблеме единственности Т. р.: могут ли два разных Т. расходиться к одной и той же функции; в др. формулировке: если Т. р. сходится к нулю, то следует ли отсюда, что все коэффициенты ряда равны нулю. Здесь можно иметь в виду сходимость во всех точках или во всех точках вне нек-рого множества. Ответ на эти вопросы существенно зависит от свойств того множества, вне к-рого сходимость не предполагается.
Установилась следующая терминология. Множество наз. единственности множеством или U- множеством, если из сходимости Т. р. к нулю на всюду, кроме, быть может, точек множества Е, следует, что все коэффициенты этого ряда равны нулю. В противном случае Еназ. М-множеством.
Как показал Г. Кантор (G. Cantor, 1872), а также любое конечное являются U-множествами. Произвольное также является U-множеством (У. Юнг, 1909). С др. стороны, каждое множество положительной меры является М-множеством.
Существование М-множеств меры было установлено Д. Е. Меньшовым (1916), к-рый построил первый пример совершенного множества, обладающего этими свойствами. Этот результат имеет принципиальное значение в проблеме единственности. Из существования М-множеств меры нуль следует, что при представлении функций Т. р., сходящимися почти всюду, эти ряды определяются заведомо неоднозначно.
Совершенные множества могут быть и U-множествами (Н. К. Бари; А. Райхман, A. Rajchman, 1921). В проблеме единственности существенную роль играют весьма тонкие характеристики множеств меры нуль. Общий вопрос о классификации множеств нулевой меры на М- и U-множества остается (1984) открытым. Он не решен даже для совершенных множеств.
К проблеме единственности примыкает следующая задача. Если Т. р. сходится к функции то должен ли этот ряд быть рядом Фурье функции /. П. Дюбуа-Реймон (P. Du Bois-Reymond, 1877) дал положительный ответ на этот вопрос, если f интегрируема в смысле Римана, а ряд сходится к f(х)во всех точках. Из результатов III. Ж. Bалле Пуссена (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) следует, что ответ положителен и в том случае, когда всюду, кроме счетного множества точек, ряд сходится и его сумма конечна.
Если Т. р, в нек-рой точке x 0 сходится абсолютно, то точки сходимости этого ряда, а также точки его абсолютной сходимости расположены симметрично относительно точки x 0 (П. Фату, P. Fatou, 1906).
Согласно Данжуа - Лузина теореме из абсолютной сходимости Т. р. (1) на множестве положительной меры следует сходимость ряда и, следовательно, абсолютная сходимость ряда (1) для всех х. Этим свойством обладают и множества второй категории, а также нек-рые множества меры нуль.
Приведенный обзор охватывает только одномерные Т. р. (1). Имеются отдельные результаты, относящиеся к общим Т. р. от нескольких переменных. Здесь во многих случаях нужно еще найти естественные постановки задач.

Лит. : Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965; Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М.- Л., 1951; Риман Б., Соч., пер. с нем., М.- Л., 1948, с. 225-61.
С. А. Теляковский.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т.е. такими, которые воспроизводятся через определённый промежуток времени T , называемый периодом. Простейшей из периодических функций (если не считать постоянной) является синусоидальная величина: Asin (x + ), гармоническое колебание, где есть «частота», связанная с периодом соотношением: . Из таких простейших периодических функций могут быть составлены более сложные. Очевидно, что составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, так как сложение синусоидальных величин одной и той же частоты приводит к синусоидальной величине той же частоты. Если сложить несколько величин вида

Для примера мы воспроизводим здесь сложение трех синусоидальных величин: . Рассмотрим график этой функции

Этот график значительно отличается от синусоиды. Еще в большей степени это имеет место для суммы бесконечного ряда, составленного из слагаемых этого вида. Поставим вопрос: можно ли данную периодическую функцию периода Т представить в виде суммы конечного или хотя бы бесконечного множества синусоидальных величин? Оказывается, по отношению к большому классу функций на этот вопрос можно дать утвердительный ответ, но это только если привлечь именно всю бесконечную последовательность таких слагаемых. Геометрически это означает, что график периодической функции получается путем наложения ряда синусоид. Если же рассматривать каждую синусоидальную величину как некоторое гармоническое колебательное движение, то можно сказать, что это сложное колебание, характеризуемое функцией или просто ее гармониками (первой, второй и т. д.). Процесс разложения периодической функции на гармоники носит название гармонического анализа.

Важно отметить, что подобные разложения часто оказываются полезными и при исследовании функций, заданных лишь в определенном конечном промежутке и вовсе не порожденных никакими колебательными явлениями.

Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

Или (1).

Действительные числа называются коэффициентами тригонометрического ряда. Этот ряд можно записать и так:

Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма является периодической функцией с периодом 2p.

Определение. Коэффициентами Фурье тригонометрического ряда называются: (2)

(3)

(4)

Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье.

Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция имеет период 2p и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция монотонна, то ряд Фурье для функции сходится при всех значениях х , причем в точках непрерывности функции его сумма S(x) равна , а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа.

При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции .

Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке .

Рассмотрим примеры на разложение функции в ряд Фурье.

Пример 1 . Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=1-x , имеющую период 2p и заданную на отрезке .

Решение . Построим график этой функции

Эта функция непрерывна на отрезке , то есть на отрезке длиной в период, поэтому допускает разложение в ряд Фурье, сходящейся к ней в каждой точке этого отрезка. По формуле (2) найдем коэффициент этого ряда: .

Применим формулу интегрирования по частям и найдем и по формулам (3) и (4) соответственно:

Подставляя коэффициенты в формулу (1), получаем или .

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек и (точки склейки графиков). В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть .

Приведем алгоритм разложения функции в ряд Фурье.

Общий порядок решения поставленной задачи сводится к следующему.

Стандартными методами, но зашли в тупик с очередным примером.

В чём состоит трудность и где может быть загвоздка? Отложим в сторону намыленную верёвку, спокойно проанализируем причины и ознакомимся с практическими приёмами решения.

Первое, и самое главное : в подавляющем большинстве случаев для исследования сходимости ряда необходимо применить какой-нибудь знакомый способ, но общий член ряда набит настолько хитрой начинкой, что совершенно не очевидно, что с ней делать. И вы ходите по кругу: не срабатывает первый признак, не годится второй, не получается третьим, четвёртым, пятым методом, потом черновики отбрасываются в сторону и всё начинается заново. Обычно это связано с недостатком опыта или пробелами в других разделах математического анализа. В частности, если запущены пределы последовательностей и поверхностно разобраны пределы функций , то придётся туго.

Иными словами, человек просто не видит нужный приём решения в силу недостатка знаний или опыта.

Бывает виновато и «затмение», когда, например, элементарно не выполнен необходимый признак сходимости ряда, но по незнанию, невнимательности либо небрежности это выпадает из поля зрения. И получается как в той байке, где профессор математики решил детскую задачку с помощью диких рекуррентных последовательностей и числовых рядов =)

В лучших традициях сразу живые примеры: ряды и их родственники – расходятся, так как в теории доказаны пределы последовательностей . Скорее всего, в первом семестре из вас вытрясут душу за доказательство на 1-2-3 страницы, но сейчас вполне достаточно показать невыполнение необходимого условия сходимости ряда, сославшись на известные факты. Известные? Если студент не знает, что корень энной степени – штука чрезвычайно мощная, то, скажем, ряды поставят его в тупик. Хотя решение, как дважды два: , т.е. по понятной причине оба ряда расходятся. Скромного комментария «данные пределы доказаны в теории» (или даже вовсе его отсутствия) вполне хватит для зачёта, всё-таки выкладки достаточно тяжёлые и относятся они точно не к разделу числовых рядов.

А изучив ближайшие примеры, вы будете только удивляться краткости и прозрачности многих решений:

Пример 1

Исследовать сходимость ряда

Решение : прежде всего, проверяем выполнение необходимого признака сходимости . Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».

«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?

Примерные образцы оформления задач в конце урока.

Не редкость, когда приходится проводить двухходовое (а то и трёхходовое) рассуждение:

Пример 6

Исследовать сходимость ряда

Решение : сначала аккуратно разбираемся с тарабарщиной числителя. Последовательность – ограничена: . Тогда:

Сравним наш ряд с рядом . В силу только что полученного двойного неравенства, для всех «эн» будет выполнено:

Теперь сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом .

Знаменатель дроби меньше знаменателя дроби , поэтому сама дробь – больше дроби (распишите несколько первых членов, если не понятно). Таким образом, для любого «эн»:

А значит, по признаку сравнения ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Если немного видоизменить знаменатель: , то первая часть рассуждений будет аналогична: . Но вот для доказательства расходимости ряда уже применим только предельный признак сравнения, так как неравенство неверно.

Ситуация со сходящимися рядами «зеркальна», то есть, например, для ряда можно использовать оба признака сравнения (неравенство справедливо), а для ряда – только предельный признак (неравенство неверно).

Продолжаем наше сафари по дикой природе, где на горизонте замаячило стадо грациозных и сочных антилоп:

Пример 7

Исследовать сходимость ряда

Решение : необходимый признак сходимости выполняется, и мы снова задаёмся классическим вопросом: что делать? Перед нами нечто напоминающее сходящийся ряд , однако, чёткого правила тут нет – такие ассоциации зачастую обманчивы.

Зачастую, да не в этот раз. С помощью предельного признака сравнения сравним наш ряд со сходящимся рядом . В ходе вычисления предела используем замечательный предел , где в качестве бесконечно малой величины выступает :

сходится вместе с рядом .

Вместо применения стандартного искусственного приёма домножения и деления на «тройку», можно было изначально провести сравнение со сходящимся рядом .
Но здесь желательна оговорка, что константа-множитель общего члена не влияет на сходимость ряда. И как раз в таком стиле оформлено решение следующего примера:

Пример 8

Исследовать сходимость ряда

Образец в конце урока.

Пример 9

Исследовать сходимость ряда

Решение : в предыдущих примерах мы пользовались ограниченностью синуса, но сейчас это свойство оказывается вне игры. Знаменатель дроби более высокого порядка роста , чем числитель, поэтому при аргумент синуса и весь общий член бесконечно малЫ . Необходимое условие сходимости, как понимаете, выполнено, что не позволяет нам отлынивать от работы.

Проведём разведку: в соответствии с замечательной эквивалентностью , мысленно отбросим синус и получим ряд . Ну а уж такое-то….

Оформляем решение:

Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Заменим бесконечно малую эквивалентной: при .

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом.

Пример 10

Исследовать сходимость ряда

Это пример для самостоятельного решения.

Для планирования дальнейших действий в подобных примерах здОрово помогает мысленное отбрасывание синуса, арксинуса, тангенса, арктангенса. Но помните, такая возможность существует лишь при бесконечно малом аргументе, не так давно мне попался провокационный ряд:

Пример 11

Исследовать сходимость ряда
.

Решение : здесь бесполезно использовать ограниченность арктангенса, и эквивалентность тоже не работает. Выход неожиданно прост:


Исследуемый ряд расходится , так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Вторая причина «затыка на задании» состоит в приличной навороченности общего члена , что вызывает затруднения уже технического характера. Грубо говоря, если рассмотренные выше ряды относятся к разряду «фиг догадаешься», то эти – к категории «хрен решишь». Собственно, это и называют сложностью в «обычном» понимании. Далеко не каждый правильно разрулит несколько факториалов, степеней, корней и прочих обитателей саванны. Больше всего проблем доставляют, конечно же, факториалы:

Пример 12

Исследовать сходимость ряда

Как возвести факториал в степень? Легко. По правилу действий со степенями, необходимо возвести в степень каждый множитель произведения:

И, конечно же, внимание и ещё раз внимание, сам-то по себе признак Даламбера работает традиционно:

Таким образом, исследуемый ряд сходится .

Напоминаю рациональную методику устранения неопределённости : когда понятен порядок роста числителя и знаменателя – совсем не обязательно мучаться и раскрывать скобки.

Пример 13

Исследовать сходимость ряда

Зверь очень редкий, но встречается, и было бы несправедливым обойти его объективом камеры.

Что такое факториал с двойным восклицательным знаком? Факториал «накручивает» произведение положительных чётных чисел:

Аналогично, факториал «накручивает» произведение положительных нечётных чисел:

Проанализируйте, в чём состоит отличие от и

Пример 14

Исследовать сходимость ряда

А в этом задании постарайтесь не запутаться со степенями, замечательными эквивалентностями и замечательными пределами .

Образцы решений и ответы в конце урока.

Но студент достаётся на корм не только тиграм – свою добычу выслеживают и хитрые леопарды:

Пример 15

Исследовать сходимость ряда

Решение : практически мгновенно отпадают необходимый признак сходимости, предельный признак, признаки Даламбера и Коши. Но хуже всего, что бессилен неоднократно выручавший нас признак с неравенствами. Действительно, сравнение с расходящимся рядом невозможно, так как неравенство неверно – множитель-логарифм только увеличивает знаменатель, уменьшая саму дробь по отношению к дроби . И другой глобальный вопрос: а почему мы вообще изначально уверены, что наш ряд непременно обязан расходиться и его нужно сравнивать с каким-либо расходящимся рядом? Вдруг он вообще сходится?

Интегральный признак? Несобственный интеграл навевает траурное настроение. Вот если бы у нас был ряд … тогда да. Стоп! Так и рождаются идеи. Оформляем решение в два шага:

1) Сначала исследуем сходимость ряда . Используем интегральный признак :

Подынтегральная функция непрерывна на

Таким образом, ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

2) Сравним наш ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом .

И в таком решении нет ничего необычного или творческого – так и надо решать!

Предлагаю самостоятельно оформить следующую двухходовку:

Пример 16

Исследовать сходимость ряда

Студент с некоторым опытом в большинстве случаев сразу видит, сходится ряд или расходится, но, бывает, что хищник ловко маскируется в кустах:

Пример 17

Исследовать сходимость ряда

Решение : на первый взгляд вообще не понятно, как ведёт себя этот ряд. А если перед нами туман, то логично начать с черновой проверки необходимого условия сходимости ряда. В целях устранения неопределённости используем непотопляемый метод умножения и деления на сопряженное выражение :

Необходимый признак сходимости не сработал, но вывел на чистую воду нашего тамбовского товарища. В результате выполненных преобразований получен эквивалентный ряд , который в свою очередь сильно напоминает сходящийся ряд .

Записываем чистовое решение:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Умножим и разделим на сопряженное выражение:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Возможно, у некоторых возник вопрос, откуда на нашем африканском сафари появились волки? Не знаю. Завезли, наверное. Следующую трофейную шкуру добывать вам:

Пример 18

Исследовать сходимость ряда

Примерный образец решения в конце урока

И, наконец, ещё одна мысль, которая в отчаянии посещает многих студентов: а не использовать ли более редкий признак сходимости ряда ? Признак Раабе, признак Абеля, признак Гаусса, признак Дирихле и прочие неведомые зверушки. Идея рабочая, но в реальных примерах осуществляется очень редко. Лично я за все годы практики лишь 2-3 раза прибегнул к признаку Раабе , когда действительно ничего не помогло из стандартного арсенала. Полностью воспроизвожу ход своего экстремального квеста:

Пример 19

Исследовать сходимость ряда

Решение : Безо всяких сомнений признак Даламбера. В ходе вычислений активно использую свойства степеней, а также второй замечательный предел :

Вот тебе и раз. Признак Даламбера не дал ответа, хотя ничего не предвещало такого исхода.

Пошерстив справочник, я нашёл доказанный в теории малоизвестный предел и применил более сильный радикальный признак Коши:

Вот тебе и два. И, главное, совершенно не понятно, сходится ряд или расходится (крайне редкая для меня ситуация). Необходимый признак сравнения? Без особых надежд – даже если немыслимым образом разберусь с порядком роста числителя и знаменателя, то это ещё не гарантирует вознаграждения.

Полный даламбер, но самое скверное, что ряд нужно решить. Нужно. Ведь это будет первый случай, когда я сдамся. И тут мне вспомнилось, что вроде существуют ещё какие-то более сильные признаки. Передо мной был уже не волк, не леопард и не тигр. Это был огромный слон, размахивающий большим хоботом. Пришлось взять в руки гранатомёт:

Признак Раабе

Рассмотрим положительный числовой ряд .
Если существует предел , то:
а) При ряд расходится . Причём полученное значение может быть нулевым или отрицательным
б) При ряд сходится . В частности, ряд сходится при .
в) При признак Раабе не даёт ответа .

Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь:


Да, картина, мягко говоря, неприятная, но я уже не удивился.Подобные пределы раскалываются с помощью правила Лопиталя , и первая мысль, как потом выяснилась, оказалось правильной. Но сначала я где-то час крутил-вертел предел «обычными» методами, однако неопределённость не желала устраняться. А ходьба по кругу, как подсказывает опыт – типичный признак того, что выбран неверный способ решения.

Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-й том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда . И дальше пошло решение по образцу.

Условие Гёльдера. Будем говорить, что функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условия Гёльдера, если существуют односторонние конечные пределы $f(x_0 \pm 0)$ и такие числа $\delta > 0$, $\alpha \in (0,1]$ и $c_0 > 0$, что для всех $t \in (0,\delta)$ выполнены неравенства: $|f(x_0+t)-f(x_0+0)|\leq c_0t^{\alpha }$, $|f(x_0-t)-f(x_0-0)|\leq c_0t^{\alpha }$.

Формула Дирихле. Преобразованной формулой Дирихле называют формулу вида:
$$S_n(x_0)= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)+f(x_0-t))D_n(t)dt \quad (1),$$ где $D_n(t)=\frac{1}{2}+ \cos t + \ldots+ \cos nt = \frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}} (2)$ — .

Используя формулы $(1)$ и $(2)$, запишем частичную сумму ряда Фурье в следующем виде:
$$S_n(x_0)= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2\sin\frac{t}{2}}\sin \left (n+\frac{1}{2} \right) t dt$$
$$\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty }S_n(x_0) — \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2\sin\frac{t}{2}} \cdot \\ \cdot \sin \left (n+\frac{1}{2} \right)t dt = 0 \quad (3)$$

Для $f \equiv \frac{1}{2}$ формула $(3)$ принимает следующий вид: $$ \lim\limits_{n \to \infty }\frac{1}{\delta}\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}}dt=\frac{1}{2}, 0

Сходимость ряда Фурье в точке

Теорема. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция и в точке $x_0$ удовлетворяет условию Гёльдера. Тогда ряд Фурье функции $f(x)$ в точке $x_0$ сходится к числу $$\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$

Если в точке $x_0$ функция $f(x)$ — непрерывна, то в этой точке сумма ряда равна $f(x_0)$.

Доказательство

Так как функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условию Гёльдера, то при $\alpha > 0$ и $0 < t$ $ < \delta$ выполнены неравенства (1), (2).

Запишем при заданном $\delta > 0$ равенства $(3)$ и $(4)$. Умножая равенство $(4)$ на $f(x_0+0)+f(x_0-0)$ и вычитая результат из равенства $(3)$, получаем $$ \lim\limits_{n \to \infty} (S_n(x_0) — \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} — \\ — \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\delta}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2\sin \frac{t}{2}} \cdot \\ \cdot \sin \left (n + \frac{1}{2} \right)t \, dt) = 0. \quad (5)$$

Из условия Гёльдера следует, что функция $$\Phi(t)= \frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2\sin \frac{t}{2}}.$$ абсолютно интегрируема на отрезке $$. В самом деле, применяя неравенство Гёльдера, получаем, что для функции $\Phi(t)$ справедливо следующее неравенство: $|\Phi(t)| \leq \frac{2c_0t^{\alpha }}{\frac{2}{\pi}t} = \pi c_0t^{\alpha — 1} (6)$, где $\alpha \in (0,1]$.

В силу признака сравнения для несобственных интегралов из неравенства $(6)$ следует, что $\Phi(t)$ абсолютно интергрируема на $.$

В силу леммы Римана $$\lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{0}^{\delta}\Phi(t)\sin \left (n + \frac{1}{2} \right)t\cdot dt = 0 .$$

Из формулы $(5)$ теперь следует, что $$\lim\limits_{n \to \infty}S_n(x_0) = \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} .$$

[свернуть]

Следствие 1. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную, то ее ряд Фурье сходится в этой точке к $f(x_0)$.

Следствие 2. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ обе односторонние производные, то ее ряд Фурье сходится в этой точке к $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$

Следствие 3. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ удовлетворяет в точках $-\pi$ и $\pi$ условию Гёльдера, то в силу периодичности сумма ряда Фурье в точках $-\pi$ и $\pi$ равна $$\frac{f(\pi-0)+ f(-\pi+0)}{2}.$$

Признак Дини

Определение. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция, Точка $x_0$ будет регулярной точкой функции $f(x)$, если

1) существуют конечные левый и правый пределы $\lim\limits_{x \to x_0+0 }f(x)= \lim\limits_{x \to x_0-0 }f(x)= f(x_0+0)=f(x_0-0),$

2) $f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$

Теорема. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция и точка $x_0 \in \mathbb{R}$ — регулярная точка функции $f(x)$. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условиям Дини: существуют несобственные интегралы $$\int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t}dt, \\ \int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0-t)-f(x_0-0)|}{t}dt,$$

тогда ряд Фурье функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет сумму $f(x_0)$, т.е. $$ \lim\limits_{n \to \infty }S_n(x_0)=f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$

Доказательство

Для частичной суммы $S_n(x)$ ряда Фурье имеет место интегральное представление $(1)$. И в силу равенства $\frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }D_n(t) \, dt=1,$
$$ f(x_0)= \frac{1}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }f(x_0+0)+f(x_0-0)D_n(t) \, dt$$

Тогда имеем $$S_n(x_0)-f(x_0) = \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t) \, dt + $$ $$+\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0-t)-f(x_0-0))D_n(t) \, dt. \quad(7)$$

Очевидно, что теорема будет доказана, если докажем, что оба интеграла в формуле $(7)$ имеют пределы при $n \to \infty $ равные $0$. Рассмотрим первый интеграл: $$I_n(x_0)=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt. $$

В точке $x_0$ выполняется условие Дини: сходится несобственный интеграл $$\int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t} \, dt .$$

Поэтому для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta \in (0, h)$ такое, что $$\int\limits_{0}^{\delta }\frac{\left | f(x_0+t)-f(x_0+0) \right |}{t}dt

По выбранному $\varepsilon > 0$ и $\delta > 0$ интеграл $I_n(x_0)$ представим в виде $I_n(x_0)=A_n(x_0)+B_n(x_0)$, где
$$A_n(x_0)=\int\limits_{0}^{\delta }(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt ,$$ $$B_n(x_0)=\int\limits_{\delta}^{\pi }(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt .$$

Рассмотрим сначала $A_n(x_0)$. Используя оценку $\left | D_n(t) \right |

для всех $t \in (0, \delta)$.

Поэтому $$A_n(x_0) \leq \frac{\pi}{2} \int\limits_{0}^{\delta } \frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t}dt

Перейдем к оценке интеграла $B_n(x_0)$ при $n \to \infty $. Для этого введем функцию $$ \Phi (t)=\left\{\begin{matrix}
\frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{2\sin \frac{t}{2}}, 0

$$B_n(x_0)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\Phi (t) \sin \left (n+\frac{1}{2} \right)t\,dt.$$ Получаем, что $\lim\limits_{n \to \infty }B_n(x_0)=0$, а это означает, что для выбранного ранее произвольного $\varepsilon > 0$ существует такое $N$, что для всех $n>N$ выполняется неравенство $|I_n(x_0)|\leq |A_n(x_0)| + |B_n(x_0)|

Совершенно аналогично доказывается, что и второй интеграл формулы $(7)$ имеет равный нулю предел при $n \to \infty $.

[свернуть]

Следствие Если $2\pi$ периодическая функция $f(x)$ кусочно дифференциируема на $[-\pi,\pi]$, то ее ряд Фурье в любой точке $x \in [-\pi,\pi]$ сходится к числу $$\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$

На отрезке $[-\pi,\pi]$ найти тригонометрический ряд Фурье функции $f(x)=\left\{\begin{matrix}
1, x \in (0,\pi),\\ -1, x \in (-\pi,0),
\\ 0, x=0.
\end{matrix}\right.$

Исследовать сходимость полученного ряда.

Продолжая периодически $f(x)$ на всю вещественную ось, получим функцию $\widetilde{f}(x)$, график которой изображен на рисунке.

Так как функция $f(x)$ нечетна, то $$a_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx dx =0;$$

$$b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx \, dx = $$ $$=\frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(x)\sin kx \, dx =$$ $$=-\frac{2}{\pi k}(1- \cos k\pi)$$

$$b_{2n}=0, b_{2n+1} = \frac{4}{\pi(2n+1)}.$$

Следовательно, $\tilde{f}(x)\sim \frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}.$

Так как ${f}"(x)$ существует при $x\neq k \pi$, то $\tilde{f}(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}$, $x\neq k \pi$, $k \in \mathbb{Z}.$

В точках $x=k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$, функция $\widetilde{f}(x)$ не определена, а сумма ряда Фурье равна нулю.

Полагая $x=\frac{\pi}{2}$, получаем равенство $1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{5}- \ldots + \frac{(-1)^n}{2n+1}+ \ldots = \frac{\pi}{4}$.

[свернуть]

Найти ряд Фурье следующей $2\pi$-периодической и абсолютно интегрируемой на $[-\pi,\pi]$ функции:
$f(x)=-\ln |
\sin \frac{x}{2}|$, $x \neq 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$, и исследовать на сходимость полученного ряда.

Так как ${f}"(x)$ существует при $ x \neq 2k \pi$, то ряд Фурье функции $f(x)$ будет сходиться во всех точках $ x \neq 2k \pi$ к значению функции. Очевидно, что $f(x)$ четная функция и поэтому ее разложение в ряд Фурье должно содержать косинусы. Найдем коэффициент $a_0$. Имеем $$\pi a_0 = -2 \int\limits_{0}^{\pi}\ln \sin \frac{x}{2}dx = $$ $$= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin \frac{x}{2}dx \,- \, 2\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\ln \sin \frac{x}{2}dx =$$ $$= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin \frac{x}{2}dx \, — \, 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\cos \frac{x}{2}dx=$$ $$= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\frac{1}{2}\sin x)dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, 2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin x dx =$$ $$= \pi \ln 2 \, — \, \int\limits_{0}^{\pi}\ln \sin \frac{t}{2}dt = \pi\ln 2 + \frac{\pi a_0}{2},$$ откуда $a_0= \pi \ln 2$.

Найдем теперь $a_n$ при $n \neq 0$. Имеем $$\pi a_n = -2 \int\limits_{0}^{\pi}\cos nx \ln \sin \frac{x}{2}dx = $$ $$ = \int\limits_{0}^{\pi} \frac{\sin(n+\frac{1}{2})x+\sin (n-\frac{1}{2})x}{2n \sin\frac{x}{2}}dx=$$ $$= \frac{1}{2n} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \begin{bmatrix}
D_n(x)+D_{n-1}(x)\\ \end{bmatrix}dx.$$

Здесь $D_n(x)$- ядро Дирихле, определяемое формулой (2) и получаем, что $\pi a_n = \frac{\pi}{n}$ и, следовательно, $a_n = \frac{1}{n}$. Таким образом, $$-\ln |
\sin \frac{x}{2}| = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty } \frac{\cos nx}{n}, x \neq 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.$$

[свернуть]

Литература

• Лысенко З.М., конспект лекций по математическому анализу, 2015-2016 гг.
• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 581-587
• Демидович Б.П., Сборник заданий и упражнений по математическому анализу, издание 13, исправленное, Издательство ЧеРо, 1997, стр. 259-267

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Информация

Тест по материалу данной темы:

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0 )

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1 .

   Количество баллов: 1

   Если $2\pi$ -периодическая и абсолютно интегрируема на $[−\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную, то к чему будет сходиится ее ряд Фурье в этой точке?

2. Задание 2 из 5

   2 .

   Количество баллов: 1

   Если выполнены все условия признака Дини, то к какому числу сходится ряд Фурье функции $f$ в точке $x_0$?

Покажем, что практически любую периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники, с помощью, так называемого, тригонометрического ряда.

Определение. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

где действительные числа а 0 , а n , b n называются коэффициентамиряда.

Свободный член ряда записан в виде для единообразия получающихся в дальнейшем формул.

Нужно решить два вопроса:

1) При каких условиях функция f(x) с периодом 2π может быть разложена в ряд (5.2.1)?

2) Как вычислить коэффициенты а 0 ,… а n , b n ?

Начнем с решения второго вопроса. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезкеи имеет период Т=2π . Приведем формулы, которые понадобятся нам в дальнейшем.

При любом целом , так как функция четная.

При любом целом .

(m и n целые числа)

При (m и n целые числа) каждый из интегралов (III, IV, V) преобразуется в сумму интегралов (I) или (II). Если же , то в формуле (IV) получаем:

Анологично доказывается равенство (V).

Предположим теперь, что функция оказалась такой, что для неё нашлось разложение в сходящийся ряд Фурье, то есть

(Следует обратить внимание, что суммирование идёт по индексу n ).

Если ряд сходится, то его сумму обозначим S(x).

Почленное интегрирование (законное в силу предположения о сходимости ряда) в пределах от до даёт

так как все слагаемые кроме первого равны нулю (соотношения I, II). Отсюда находим

Умножая (5.2.2) на (m =1,2,…) и почленно интегрируя в пределах от до , найдем коэффициент a n .

В правой части равенства все слагаемые равны нулю, кроме одного m=n (соотношения IV, V), Отсюда получаем

Умножая (5.2.2) на (m =1,2,…) и почленно интегрируя в пределах от до ,аналогичным образом находим коэффициент b n

Значения - определяемые по формулам (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) называются коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд (5.2.2) – ряд Фурье для данной функции f(x).

Итак, получили разложение функции f(x) в ряд Фурье

Вернемся к первому вопросу и выясним какими свойствами должна обладать функция f(x) , чтобы построенный ряд Фурье был сходящимся, и сумма ряда равнялась бы именно f(x) .

Определение. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной , если она непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода.

Определение. Функция f(x) , заданная на отрезке называется кусочно-монотонной , если отрезок можно разбить точками на конечное число промежутков, в каждом из которых функция изменяется монотонно (возрастая или убывая).

Будем рассматривать функции f(x) , имеющие период Т=2π . Такие функции называются 2π - периодическими.

Сформулируем теорему, представляющую достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле (примем без доказательства). Если 2π -периодическая функция f(x) на отрезке является кусочно-непрерывной и кусочно-монотонной, то соответствующий функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1. В точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией S(x)=f(x) ;

2. В каждой точке х 0 разрыва функции f(x) сумма ряда равна ,

т.е. среднему арифметическому пределов функции слева и справа от точки х 0 ;

3. В точках (на концах отрезка) сумма ряда Фурье равна ,

т.е. среднему арифметическому предельных значений функции на концах отрезка, при стремлении аргумента к этим точкам изнутри промежутка.

Замечание: если функция f(x) с периодом 2π непрерывна и дифференцируема во всем промежутке и значения ее на концах промежутка равны, т.е., то ввиду периодичности эта функция непрерывна на всей числовой оси и при любом х сумма ее ряда Фурье совпадает с f(x) .

Таким образом, если интегрируемая на отрезке функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то на отрезке имеет место равенство (разложение в ряд Фурье):

Коэффициенты вычисляются по формулам (5.2.3) - (5.2.5).

Условиям Дирихле удовлетворяет большинство функций, которые встречаются в математике и ее приложениях.

Ряды Фурье, как и степенные ряды, служат для приближенного вычисления значений функций. Если разложение функции f(x) в тригонометрический ряд имеет место, то всегда можно пользоваться приближенным равенством , заменяя данную функцию суммой нескольких гармоник, т.е. частичной суммой (2n +1) члена ряда Фурье.

Тригонометрические ряды широко используют в электротехнике, с их помощью решают многие задачи математической физики.

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2π, заданную на интервале (-π;π).

Решение. Найдем коэффициенты ряда Фурье:

Получили разложение функции в ряд Фурье

В точках непрерывности сумма ряда Фурье равна значению функции f(x)=S(x) , в точке х=0 S(x)=1/2 , в точках х=π,2π,… S(x)=1/2.