Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной в пространстве оси вращения.
Допустим, что F i – внешняя сила, приложенная к некоторой элементарной массе ∆m i твердого тела и вызывающая вращение. За малый промежуток времени элементарная масса переместится на и следовательно силой будет совершена работа
где a – угол между направлением силы и перемещения. Но равняется F t – проекции силы на касательную к траектории движения массы , а величина . Следовательно
Легко заметить, что произведение является моментом силы относительно заданной оси вращения z и действующим на элемент тела Dm i . Следовательно, работа силы будет равна
Суммируя работу моментов сил, приложенных ко всем элементам тела, получим для элементарно малой энергии, затрачиваемой на элементарно малый поворот тела d j:
, (2.4.27)
где – результирующий момент всех внешних сил, действующих на твердое тело относительно заданной оси вращения z.
Работа за конечный промежуток времени t
. (2.4.28)
Законсохранения момента импульса и изотропность пространства
Законсохранения момента импульса является следствием основного закона динамики вращательного движения. Всистеме из п взаимодействующих частиц (тел) векторная сумма всех внутренних сил, а следовательно и моментов сил, равна нулю, и дифференциальноеуравнение моментов имеет вид
где – полный момент импульса всей системы, – результирующий момент внешних сил.
Если система замкнута
откуда следует
что возможно при
Законсохранения момента импульса: Момент импульсазамкнутой системы частиц (тел) остается постоянным .
Законсохранения момента импульса является следствием свойства изотропности пространства, которое проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы не зависят от выбора направлений осей координат инерциальных систем отсчёта.
В замкнутой системе три физические величины: энергия, импульс и момент импульса (являющиеся функциями координат и скоростей) сохраняются. Такие функции называются интегралами движения. В системе из п частиц существует 6n –1 интегралов движения, но свойством аддитивности обладают лишь три из них – энергия, импульс и момент импульса.
Гироскопический эффект
Массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг оси симметрии, называется гироскопом.
Гироскоп, будучи приведен во вращение, стремится сохранить направление своей оси неизменным в пространстве, что является проявлением закона сохранения момента импульса . Гироскоп тем более устойчив, чем больше угловая скорость вращения и чем больше момент инерции гироскопа относительно оси вращения.
Если же к вращающемуся гироскопу приложить пару сил, стремящуюся повернуть его около оси, перпендикулярной к оси вращения гироскопа, то он станет поворачиваться, но только вокруг третьей оси, перпендикулярной первым двум (рис. 21). Этот эффект называется гироскопическим эффектом . Возникающее при этом движениеназывается прецессионным движением или прецессией .
Прецессирует любое тело, вращающееся вокруг некоторой оси, если на него действует момент сил, перпендикулярный оси вращения.
Примером прецессионного движения может служить поведение детской игрушки, которая называется волчком или юлой. Прецессирует также Земля под действием гравитационного поля Луны. Момент сил, действующий на Землю со стороны Луны, определяется геометрической формой Земли – отсутствием сферической симметрии, т.е. с ее «сплюснутостью».
Гироскоп*
Рассмотрим прецессионное движениеподробнее. Такое движениереализует массивный диск, насаженный на вертикальную ось вокруг, которой он вращается. Диск обладает моментом импульса , направленным по оси вращения диска (рис. 22).
У гироскопа, основным элементом которого является диск D , вращающийся со скоростью вокруг горизонтальной оси ОО " возникнет вращающий момент относительно точки C и моментом импульса направлен по оси вращения диск D .
Ось гироскопа шарнирно закреплена в точке C . Прибор снабжен противовесом К. Если противовес установлен так, что точка C является центром масс системы (m – масса гироскопа; m 0 – масса противовеса К ; масса стержня пренебрежимо мала), то без учёта трения запишем:
то есть результирующий момент сил, действующий на систему, равен нулю.
Тогда справедлив закон сохранения момента импульса :
Иными словами, в этом случае const; где J – момент инерции гироскопа, – собственнаяугловая скорость вращения гироскопа.
 |
Поскольку момент инерции диска относительно его оси симметрии есть величина постоянная, то вектор угловой скорости также остается постоянным как по величине, так и по направлению.
Вектор направлен по оси вращения в соответствии с правилом правого винта. Таким образом, ось свободного гироскопа сохраняет своё положение в пространстве неизменным.
Если к противовесу К добавить еще один с массой m 1 , то центр масс системы сместится и возникнет вращающий момент относительно точки C . Согласно уравнению моментов, . Под действием этого вращающего момента вектор момента импульса получит приращение , совпадающее по направлению с вектором :
Векторы сил тяжести и направлены вертикально вниз. Следовательно, векторы , и , лежат в горизонтальной плоскости. Спустя время момент импульса гироскопа изменится на величину и станет равен
Таким образом, вектор изменяет своё направление в пространстве, всё время оставаясь в горизонтальной плоскости. Учитывая, что вектор момента импульса гироскопа направлен вдоль оси вращения, поворот вектора на некоторый угол da за время dt означает поворот оси вращения на тот же угол. В результате ось симметрии гироскопа начнет вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси ВВ " с угловой скоростью:
Такое движениеназывается регулярной прецессией , а величина – угловой скоростью прецессии. Если в начальный момент ось ОО " гироскопа установлена не горизонтально, то при прецессии она будет описывать в пространстве конус относительно вертикальной оси. Наличие сил трения приводит к тому, что угол наклона оси гироскопа будет постоянно изменяться. Такое движениеносит название нутации .
Выясним зависимость угловой скорости прецессии гироскопа от основных параметров системы. Спроецируем равенство (123) на горизонтальную ось, перпендикулярную ОО"
Из геометрических соображений (см. рис. 22) при малых углах поворота , тогда , и угловая скорость прецессии выражается:
Это означает, что если прикладывать к гироскопу постоянную внешнюю силу, то он начнет поворачиваться вокруг третьей оси, не совпадающей по направлению с основной осью вращения ротора.
Прецессия, величина которой пропорциональна величине действующей силы, удерживает устройство, ориентированное в вертикальном направлении, причем может быть измерен угол наклона относительно опорной поверхности. Однажды раскрученное устройство стремится сопротивляться изменениям в его ориентации вследствие углового момента. Этот эффект известен в физике также как гироскопическая инерция. В случае прекращения внешнего воздействия прецессия мгновенно заканчивается, но ротор продолжает вращаться.
На диск действует сила тяжести , вызывающая момент силы относительно точки опоры O . Этот момент направлен перпендикулярно оси вращения диска и равен
где l 0 – расстояние от центра тяжестидиска до точки опоры O .
На основании основного закона динамики вращательного движения момент силы вызовет за интервал времени dt изменение момента импульса
Векторы и направлены по одной прямой и перпендикулярны к оси вращения.
Из рис. 22 видно, что конец вектора за время dt переместится на угол
Подставив в это соотношение значения L , dL и М , получим
. (2.4.43)
Таким образом, угловая скорость смещения конца вектора :
и верхний конец оси вращения диска будет описывать окружность в горизонтальной плоскости (рис. 21). Подобное движениетела называется прецессионным, а сам эффект гироскопическим эффектом.
ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Реальные тела не являются абсолютно упругими, поэтому при рассмотрении реальных задач приходится учитывать возможность изменения их формы в процессе движения, т. е. учитывать деформации. Деформация - это изменение формы и размеров твердых тел под действием внешних сил.
Пластическая деформация - это деформация, которая сохраняется в теле после прекращения действия внешних сил. Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму.
Все виды деформаций (растяжение, сжатие, изгиб, кручение, сдвиг) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения (или сжатия) и сдвига.
Напряжение σ - физическая величина, численно равная упругой силе , приходящейся на единицу площади сечения тела (измеряется в Па):
Если сила направлена по нормали к поверхности, то напряжение нормальное , если - по касательной, то напряжение тангенциальное .
Относительная деформация - количественная мера, характеризующая степень деформации и определяемая отношением абсолютной деформации Δx к первоначальному значению величины x , характеризующей форму или размеры тела: .
- относительное изменение длины l стержня (продольная деформация) ε:
- относительное поперечное растяжение (сжатие) ε′, где d - диаметр стержня.
Деформации ε и ε′ всегда имеют разные знаки: ε′ = −με где μ - положительный коэффициент, зависящий от свойств материала и называемый коэффициентом Пуассона .
Для малых деформаций относительная деформация ε пропорциональна напряжению σ:
где E - коэффициент пропорциональности (модуль упругости), численно равный напряжению, которое возникает при относительной деформации, равной единице.
Для случая одностороннего растяжения (сжатия) модуль упругости называется модулем Юнга . Модуль Юнга измеряется в Па.
Записав 
, получим 
- закон Гука
:
удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе (здесь k - коэффициент упругости). Закон Гука справедлив только при малых деформациях.
В отличие от коэффициента жесткости k , являющимся свойством только тела, модуль Юнга характеризует свойства вещества.
У любого тела, начиная с некоторого значения , деформация перестает быть упругой, становясь пластической. Пластичные материалы – материалы, которые не разрушаются при напряжении, значительно превышающем предел упругости. Благодаря свойству пластичности металлы (алюминий, медь, сталь) можно подвергать различной механической обработке: штамповке, ковке, изгибу, растяжению. При дальнейшем увеличении деформации материал разрушается.
Предел прочности – максимальное напряжение, возникающее в теле до его разрушения.
Различие в пределах прочности при сжатии и растяжении объясняется различием процессов взаимодействия молекул и атомов в твердых телах при этих процессах.
Модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Все прочие упругие постоянные могут быть выражены через E и μ.
Многочисленные опыты показывают, что при малых деформациях напряжение прямо пропорционально относительному удлинению ε (участок ОА диаграммы) – выполняется закон Гука.
Эксперимент показывает, что малые деформации полностью исчезают после снятия нагрузки (наблюдается упругая деформация). При малых деформациях выполняется закон Гука. Максимальное напряжение, при котором еще выполняется закон Гука, называется пределом пропорциональности σ п. Он соответствует точке А диаграммы.
Если продолжать увеличивать нагрузку при растяжении и превзойти предел пропорциональности, то деформация становится нелинейной (линия ABCDEK ). Тем не менее, при небольших нелинейных деформациях после снятия нагрузки форма и размеры тела практически восстанавливаются (участок АВ графика). Максимальное напряжение, при котором еще не возникают заметные остаточные деформации, называется пределом упругости σ уп. Он соответствует точке В диаграммы. Предел упругости превышает предел пропорциональности не более чем на 0,33%. В большинстве случаев их можно считать равными.
Если внешняя нагрузка такова, что в теле возникают напряжения, превышающие предел упругости, то характер деформации меняется (участок BCDEK ). После снятия нагрузки образец не принимает прежние размеры, а остается деформированным, хотя и с меньшим удлинением, чем при нагрузке (пластическая деформация).
За пределом упругости при некотором значении напряжения, соответствующем точке С диаграммы, удлинение возрастает практически без увеличения нагрузки (участок CD диаграммы почти горизонтален). Это явление называется текучестью материала .
При дальнейшем увеличении нагрузки напряжение повышается (от точки D ), после чего в наименее прочной части образца появляется сужение («шейка»). Из-за уменьшения площади сечения (точка Е ) для дальнейшего удлинения нужно меньшее напряжение, но, в конце концов, наступает разрушение образца (точка К ). Наибольшее напряжение, которое выдерживает образец без разрушения, называется пределом прочности ‑ σ пч (оно соответствует точке Е диаграммы). Его значение сильно зависит от природы материала и его обработки.
Рассмотрим деформацию сдвига . Для этого возьмем однородное тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, и приложим к его противолежащим граням силы, направленные параллельно этим граням. Если действие сил будет равномерно распределено по всей поверхности соответствующей грани S , то в любом сечении, параллельном этим граням, возникнет тангенциальное напряжение
При малых деформациях объем тела практически не изменится, а деформация состоит в том, что «слои» параллелепипеда сдвигаются относительно друг друга. Поэтому такая деформация называется деформацией сдвига .
При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпендикулярная к горизонтальным слоям, повернется на некоторый угол . При этом будет выполняться соотношение
,
где ‑ модуль сдвига , который зависит только от свойств материала тела.
Деформация сдвига относится к однородным деформациям, т. е. когда все бесконечно малые элементы объема тела деформированы одинаковы.
Однако есть неоднородные деформации – изгиба и кручения .
Возьмем однородную проволоку, закрепим ее верхний конец, а к нижнему концу приложим закручивающую силу, создающую вращающий момент М относительно продольной оси проволоки. Проволока закрутится – каждый радиус нижнего основания ее повернется вокруг продольной оси на угол . Такая деформация называется кручением. Закон Гука для деформации кручения записывается в виде
где ‑ постоянная для данной проволоки величина, называемая ее модулем кручения . В отличие от предыдущих модулей, зависит не только от материала, но и от геометрических размеров проволоки.
При повороте твердого тела, имеющего ось вращения z, под воздействием момента силы M z относительно оси z совершается работа
Полная работа при повороте на угол j равна
При постоянном моменте сил последнее выражение принимает вид:
Энергия
Энергия - мера способности тела совершить работу. Движущиеся тела обладают кинетической энергией. Поскольку существуют два основных вида движения - поступательное и вращательное, то кинетическая энергия представлена двумя формулами - для каждого вида движения. Потенциальная энергия - энергия взаимодействия. Убыль потенциальной энергии системы происходит вследствие работы потенциальных сил. Выражения для потенциальной энергии сил тяготения, тяжести и упругости, а также для кинетической энергии поступательного и вращательного движений приведены на схеме. Полная механическая энергия является суммой кинетической и потенциальной.
Импульс и момент импульса
Импульсом частицы p называется произведение массы частицы и ее скорости:
Моментом импульса
L
относительно точки О
называется векторное произведение радиус-вектора r
, определяющего положение частицы, и ее импульса p
:
Модуль этого вектора равен:
Пусть твердое тело имеет неподвижную ось вращения z , вдоль которой направлен псевдовектор угловой скорости w .
Таблица 6
Кинетическая энергия, работа, импульс и момент импульса для различных моделей объектов и движений
| Идеальная | Физические величины | |||
| модель | Кинетическая энергия | Импульс | Момент импульса | Работа |
| Материальная точка или твердое тело, движущееся поступательно. m - масса, v - скорость. |
,  | .
При  |
||
| Твердое тело вращается с угловой скоростью w. J - момент инерции, v c - скорость движения центра масс. |
 .
При  |
|||
| Твердое тело совершает сложное плоское движение. J ñ - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, v c - скорость движения центра масс. w-угловая скорость. |
 |
 |
 |
Момент импульса вращающегося твердого тела совпадает по направлению с угловой скоростью и определяется как
Определения этих величин (математические выражения) для материальной точки и соответствующие формулы для твердого тела при различных формах движения приведены в таблице 4.
Формулировки законов
Теорема о кинетической энергии
частицы равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу.
Приращение кинетической энергии системы тел равно работе, которую совершают все силы, действующих на все тела системы:
. (1)
«Физика - 10 класс»
Почему для увеличения угловой скорости вращения фигурист вытягивается вдоль оси вращения.
Должен ли вращаться вертолёт при вращении его винта?
Заданные вопросы наводят на мысль о том, что если на тело не действуют внешние силы или действие их скомпенсировано и одна часть тела начинает вращение в одну сторону, то другая часть должна вращаться в другую сторону, подобно тому как при выбросе горючего из ракеты сама ракета движется в противоположную сторону.
Момент импульса.
Если рассмотреть вращающийся диск, то становится очевидным, что суммарный импульс диска равен нулю, так как любой частице тела соответствует частица, движущаяся с равной по модулю скоростью, но в противоположном направлении (рис. 6.9).
Но диск движется, угловая скорость вращения всех частиц одинакова. Однако ясно, что чем дальше находится частица от оси вращения, тем больше её импульс. Следовательно, для вращательного движения надо ввести ещё одну характеристику, подобную импульсу, - момент импульса.
Моментом импульса частицы, движущейся по окружности, называют произведение импульса частицы на расстояние от неё до оси вращения (рис. 6.10):
Линейная и угловая скорости связаны соотношением v = ωr, тогда
Все точки твёрдого дела движутся относительно неподвижной оси вращения с одинаковой угловой скоростью. Твёрдое тело можно представить как совокупность материальных точек.
Момент импульса твёрдого тела равен произведению момента инерции на угловую скорость вращения:
Момент импульса - векторная величина, согласно формуле (6.3) момент импульса направлен так же, как и угловая скорость.
Основное уравнение динамики вращательного движения в импульсной форме.
Угловое ускорение тела равно изменению угловой скорости, делённому на промежуток времени, в течение которого это изменение произошло: Подставим это выражение в основное уравнение динамики вращательного движения 
отсюда I(ω 2 - ω 1) = MΔt, или IΔω = MΔt.
Таким образом,
ΔL = MΔt. (6.4)
Изменение момента импульса равно произведению суммарного момента сил, действующих на тело или систему, на время действия этих сил.
Закон сохранения момента импульса:
Если суммарный момент сил, действующих на тело или систему тел, имеющих неподвижную ось вращения, равен нулю, то изменение момента импульса также равно нулю, т. е. момент импульса системы остаётся постоянным.
ΔL = 0, L = const .
Изменение импульса системы равно суммарному импульсу сил, действующих на систему.
Вращающийся фигурист разводит в стороны руки, тем самым увеличивает момент инерции, чтобы уменьшить угловую скорость вращения.
Закон сохранения момента импульса можно продемонстрировать с помощью следующего опыта, называемого «опыт со скамьёй Жуковского». На скамью, имеющую вертикальную ось вращения, проходящую через её центр, встаёт человек. Человек держит в руках гантели. Если скамью заставить вращаться, то человек может изменять скорость вращения, прижимая гантели к груди или опуская руки, а затем разводя их. Разводя руки, он увеличивает момент инерции, и угловая скорость вращения уменьшается (рис. 6.11, а), опуская руки, он уменьшает момент инерции, и угловая скорость вращения скамьи увеличивается (рис. 6.11, б).
Человек может также заставить вращаться скамью если пойдёт вдоль её края. При этом скамья будет вращаться в противоположном направлении, так как суммарный момент импульса должен остаться равным нулю.
На законе сохранения момента импульса основан принцип действия приборов, называемых гироскопами. Основное свойство гироскопа - это сохранение направления оси вращения, если на эту ось не действуют внешние силы. В XIX в. гироскопы использовались мореплавателями для ориентации в море.
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела равна сумме кинетических энергий отдельных его частиц. Разделим тело на малые элементы, каждый из которых можно считать материальной точкой. Тогда кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, из которых оно состоит:
Угловая скорость вращения всех точек тела одинакова, следовательно,
Величина в скобках, как мы уже знаем, это момент инерции твёрдого тела. Окончательно формула для кинетической энергии твёрдого тела, имеющего неподвижную ось вращения, имеет вид
В общем случае движения твёрдого тела, когда ось вращения свободна, его кинетическая энергия равна сумме энергий поступательного и вращательного движений. Так, кинетическая энергия колеса, масса которого сосредоточена в ободе, катящегося по дороге с постоянной скоростью, равна
В таблице сопоставлены формулы механики поступательного движения материальной точки с аналогичными формулами вращательного движения твёрдого тела.
Сила трения всегда направлена вдоль поверхности соприкосновения в сторону, противоположную движению. Она всегда меньше силы нормального давления.
Здесь:
F
- гравитационная сила, с которой два тела притягиваются друг к другу (Ньютон),
m 1
- масса первого тела (кг),
m 2
- масса второго тела (кг),
r
- расстояние между центрами масс тел (метр),
γ
- гравитационная постоянная 6.67 · 10 -11 (м 3 /(кг · сек 2)),
Напряжённость гравитацио́нного по́ля - векторная величина, характеризующая гравитационное поле в данной точке и численно равная отношению силы тяготения, действующей на тело, помещённое в данную точку поля, к гравитационной массе этого тела:
12. Изучая механику твердого тела, мы использовали понятие абсолютно твердого тела. Но в природе не существует абсолютно твердых тел, т.к. все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются
.
Деформация
называется упругой
, если после того, как на тело перестали действовать внешние силы тело восстанавливает первоначальные размеры и форму. Деформации, сохраняющиеся в теле после прекращения действия внешних сил, называютсяпластическими
(или остаточными
)
РАБОТА И МОЩНОСТЬ
Работа силы.
Работа постоянной силы, действующей на прямолинейно движущееся тело
, где - перемещение тела, - сила, действующая на тело. 
В общем случае, работа переменной силы, действующей на тело, движущееся по криволинейной траектории 
. Работа измеряется в Джоулях [Дж].
Работа момента сил, действующего на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси
, где - момент силы, - угол поворота.
В общем случае .
Совершенная нат телом работа переходит в его кинетическую энергию.
Мощность
- это работа за единицу времени (1 с): . Мощность измеряется в Ваттах [Вт].
14.Кинети́ческая эне́ргия - энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательногодвижения.
Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы, и запишем второй закон Ньютона:
Есть результирующая всех сил, действующих на тело. Скалярно умножим уравнение на перемещение частицы . Учитывая, что , Получим:
Если система замкнута, то есть , то 
, а величина
остаётся постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы. Если система изолирована, то кинетическая энергия является интегралом движения.
Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:
Масса тела
Скорость центра масс тела
Момент инерции тела
Угловая скорость тела.
15.Потенциальная энергия - скалярная физическая величина, характеризующая способность некого тела (или материальной точки) совершать работу за счет своего нахождения в поле действия сил.
16. Растяжение или сжатие пружины приводит к запасанию ее потенциальной энергии упругой деформации. Возвращение пружины к положению равновесия приводит к высвобождению запасенной энергии упругой деформации. Величина этой энергии равна:
Потенциальная энергия упругой деформации..
- работа силы упругости и изменение потенциальной энергии упругой деформации.
17.консервати́вные си́лы (потенциальные силы) - силы, работа которых не зависит от формы траектории (зависит только от начальной и конечной точки приложения сил) . Отсюда следует определение: консервативные силы - такие силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна 0
Диссипати́вные си́лы - силы, при действии которых на механическую систему её полная механическая энергия убывает (то есть диссипирует), переходя в другие, немеханические формы энергии, например, в теплоту.
18. Вращением вокруг неподвижной оси называется такое движение твердого тела, при котором во все время движения две его точки остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все остальные точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, по окружностям, центры которых лежат на оси вращения.
Момент инерции - скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J a , равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
,
§ m i - масса i -й точки,
§ r i - расстояние от i -й точки до оси.
Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
,
Если тело приводится во вращение силой , то его энергия возрастает на величину затраченной работой. Также как и в поступательном движении, эта работа зависит от силы и произведенного перемещения. Однако перемещение теперь угловое и выражение для работы при перемещении материальной точки неприменимо. Т.к. тело абсолютно твердое, то работа силы , хотя она приложена в точке, равна работе, затраченной на поворот всего тела.
При повороте на угол точка приложения силы проходит путь . При этом работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения: ; Из рис. видно, что -плечо силы,а -момент силы.
Тогда элементарная работа: . Если , то .
Работа вращения идёт на увеличение кинетической энергии тела
; Подставив , получим: или с учетом уравнения динамики: , видно, что , т.е. то же самое выражение.
6.Неинерциальные системы отсчёта
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Кинематика поступательного движения
Физические основы механики.. кинематика поступательного движения.. механическое движение формой существования..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Механическое движение
Материя, как известно, существует в двух видах: в виде вещества и поля. К первому виду относятся атомы и молекулы, из которых построены все тела. Ко второму виду относятся все виды полей: гравитаци
Пространство и время
Все тела существуют и движутся в пространстве и времени. Эти понятия являются основополагающими для всех естественных наук. Любое тело имеет размеры, т.е. свою пространственную протяженность
Система отсчета
Для однозначного определения положения тела в произвольный момент времени необходимо выбрать систему отсчета - систему координат, снабженнуя часами и жестко связаннуя с абсолютно твердым телом, по
Кинематические уравнения движения
При движении т.М ее координаты и меняются со временем, поэтому для задания закона движения необходимо указать вид фун
Перемещение, элементарное перемещение
Пусть точка М движется от А к В по криволинейному пути АВ. В начальный момент ее радиус-вектор равен
Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения
Движение точки характеризуется также ускорением-быстротой изменения скорости. Если скорость точки за произвольное время
Поступательное движение
Простейшим видом механического движения твердого тела является поступательное движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки тела перемещается вместе с телом, оставаясь параллельной| сво
Закон инерции
В основе классической механики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в сочинении «Математические начала натуральной философии», опубликованном в 1687г. Эти законы явились результатом гениал
Инерциальная система отсчета
Известно, что механическое движение относительно и его характер зависит от выбора системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всех системах отсчета. Например, тела, лежащие на гладком п
Масса. Второй закон Ньютона
Основная задача динамики заключается в определении характеристик движения тел под действием приложенных к ним сил. Из опыта известно, что под действием силы
Основной закон динамики материальной точки
Уравнение описывает изменение движения тела конечных размеров под действием силы при отсутствии деформации и если оно
Третий закон Ньютона
Наблюдения и опыты свидетельствуют о том, что механическое действие одного тела на другое является всегда взаимодействием. Если тело 2 действует на тело 1, то тело 1 обязательно противодействует те
Преобразования Галилея
Они позволяют определить кинематические величины при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Возьмем
Принцип относительности Галилея
Ускорение какой-либо точки во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно одинаково:
Сохраняющиеся величины
Любое тело или система тел представляют собой совокупность материальных точек или частиц. Состояние такой системы в некоторый момент времени в механике определяется заданием координат и скоростей в
Центр масс
В любой системе частиц можно найти точку, называемую центром масс
Уравнение движения центра масс
Основной закон динамики можно записать в иной форме, зная понятие центра масс системы:
Консервативные силы
Если в каждой точке пространства на частицу, помещенную туда, действует сила, говорят, что частица находится в поле сил, например в поле сил тяжести, гравитационной, кулоновской и других сил. Поле
Центральные силы
Всякое силовое поле вызвано действием определенного тела или системы тел. Сила, действующая на частицу в этом поле об
Потенциальная энергия частицы в силовом поле
То обстоятельство, что работа консервативной силы (для стационарного поля) зависит только от начального и конечного положений частицы в поле, позволяет ввести важное физическое понятие потенциально
Связь между потенциальной энергией и силой для консервативного поля
Взаимодействие частицы с окружающими телами можно описать двумя способами: с помощью понятия силы или с помощью понятия потенциальной энергии. Первый способ более общий, т.к. он применим и к силам
Кинетическая энергия частицы в силовом поле
Пусть частица массой движется в силов
Полная механическая энергия частицы
Известно, что приращение кинетической энергии частицы при перемещении в силовом поле равно элементарной работе всех сил, действующих на частицу:
Закон сохранения механической энергии частицы
Из выражения следует, что в стационарном поле консервативных сил полная механическая энергия частицы может изменяться
Кинематика
Поворот тела на некоторый угол можно
Момент импульса частицы. Момент силы
Кроме энергии и импульса существует ещё одна физическая величина, с которой связан закон сохранения - это момент импульса. Моментом импульса частицы
Момент импульса и момент силы относительно оси
Возьмем в интересующей нас системе отсчета произвольную неподвижную ось
Закон сохранения момента импульса системы
Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, на которые действуют также внешние силы и
Таким образом, момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, не изменяется со временем
Это справедливо относительно любой точки инерциальной системы отсчета: . Моменты импульса отдельных частей системы м
Момент инерции твердого тела
Рассмотрим твердое тело, которое мож
Уравнение динамики вращения твердого тела
Уравнение динамики вращения твердого тела можно получить, записав уравнение моментов для твердого тела, вращающегося вокруг произвольной оси
Кинетическая энергия вращающегося тела
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, проходящей через него. Разобьем его на частицы с малыми объемами и массами
Центробежная сила инерции
Рассмотрим диск, который вращается вместе с шариком на пружине, надетой на спицу, рис.5.3.
Шарик находится
Сила Кориолиса
При движении тела относительно вращающейся СО, кроме, появляется ещё одна сила-сила Кориолиса или кориолисова сила
Малые колебания
Рассмотрим механическую систему, положение которой может быть определено с помощъю одной величины, например х. В этом случае говорят, что система имеет одну степень свободы.Величиной х может быть
Гармонические колебания
Уравнение 2-го Закона Нъютона в отсутствие сил трения для квазиупругой силы вида имеет вид:
Математический маятник
Это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити длиною, совершающая колебания в вертикальной плоск
Физический маятник
Это твердое тело, совершающее колебания вокруг неподвижной оси, связанной с телом. Ось перпендикулярна рисунку и нап
Затухающие колебания
В реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводят к уменьшению потенциальной энергии системы, и колебания будут затухающими.В простейшем случае
Автоколебания
При затухающих колебаниях энергия системы постепенно уменьшается и колебания прекращаются. Для того, чтобы их сделать незатухающими, необходимо пополнять энергию системы извне в определенные момент
Вынужденные колебания
Если колебательная система, кроме сил сопротивления, подвергается действию внешней периодической силы, изменяющейся по гармоническому закону
Резонанс
Кривая зависимости амплитуды вынужденых колебаний от приводит к тому, что при некоторой определенной для данной систе
Распространение волн в упругой среде
Если в каком либо месте упругой среды (твёрдой, жидкой, газообразной) поместить источник колебаний, то из-за взаимодействия между частицами колебание будет распространяться в среде от частицы к час
Уравнение плоской и сферической волн
Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся частицы от ее кординат,
Волновое уравнение
Уравнение волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым.
Для его установления найдем вторые частные производные по времени и координатам от урав
