Аксиома кантора для действительных чисел. Фундамент анализа

15. Если непустые множества А и В действительных чисел таковы, что для любых и выполняется неравенство a < b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

Аксиома полноты справедлива только в R.

Можно доказать, что между любыми не равными рациональными числами всегда можно вставить не равное им рациональное число.

Из данных выше аксиом можно вывести единственность нуля и единицы, существование и единственность разности и частного. Отметим, дополнительно, свойства неравенств, которые широко используются в различных преобразованиях:

1. Если a < b, с < d , то a+c < b+d.

2. Если a < b, то –a > –b .

3. Если a > 0, b < 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab > 0. (Последнее верно и при a > 0, b > 0.)

4. Если 0 < a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. Если a < b, c > 0, то ac < bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. Если 0 < a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. Для любых положительных чисел а и b найдется такое число nÎ N, что na > b (аксиома Архимеда , для отрезков длины a, b, na).

Используются следующие обозначения числовых множеств:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

R + –множество действительных положительных чисел;

R _ – множество действительных отрицательных чисел;

R 0 – множество действительных неотрицательных чисел;

С – множество комплексных чисел (определение и свойства этого множества рассматриваются в разделе 1.1).

Введем на множестве действительных чисел понятие ограниченности. Оно далее будет активно использоваться в рассуждениях.

Будем называть множество ОГРАНИЧЕННЫМ СВЕРХУ (СНИЗУ), если существует такое действительное число М (m) , что любой элемент удовлетворяет неравенству :

Число Mназывается ВЕРХНЕЙГРАНью МНОЖЕСТВАA, а число m – НИЖНЕЙ ГРАНью этого множества.

Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество N натуральных чисел ограничено снизу, но не ограничено сверху. Множество целых чисел Z не ограничено ни снизу, ни сверху.

Если рассмотреть множество площадей произвольных треугольников, вписанных в круг диаметра D , то снизу оно ограничено нулем, а сверху – площадью любого многоугольника, включающего в себя круг (в частности, площадью описанного квадрата, равной D 2 ).

Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечно много верхних (нижних) граней. Тогда, есть ли наименьшая из всех верхних границ и наибольшая из всех нижних границ?

Будем называть число точной верхней гранью ограниченного сверху множества А Ì R , если:

1. является одной из верхних граней множества А ;

2. является наименьшей из верхних граней множества А . Другими словами, действительное число является точной верхней гранью множества А Ì R , если:

Принято обозначение

Аналогично вводятся: – точная нижняя грань ограниченного снизу множества А и соответствующие обозначения

По-латыни: supremum – наивысшее, infimum – наинизшее.

Точные грани множества могут ему как принадлежать, так и не принадлежать.

ТЕОРЕМА. Ограниченное сверху (снизу) непустое множество дейст­вительных чисел очную верхнюю (нижнюю) грань.

Эту теорему мы примем без доказательства. Например, если , то верхней границей можно считать число 100, нижней –10, а . Если же , то . Во втором примере точные границы данному множеству не принадлежат.

На множестве действительных чисел можно выделить два непересекающихся подмножества алгебраических и трансцендентных чисел.

АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ЧИСЛАМИ называются числа, которые являются корнями многочлена

коэффициенты которого – целые числа.

В высшей алгебре доказывается, что множество комплексных корней многочлена конечно и равно n. (Комплексные числа являются обобщением действительных). Множество алгебраических чисел счётно. Оно включает в себя все рациональные числа, так как числа вида

удовлетворяют уравнению

Доказано также, что существуют алгебраические числа, не являющиеся радикалами из рациональных чисел. Этот очень важный результат остановил бесплодные попытки найти решения уравнений степени выше четвертой в радикалах. Многовековые поиски алгебраистов, изучавших эту проблему, сумел обобщить французский математик Э. Галуа, нелепо погибший в возрасте 21 года. Его научные труды составляют всего 60 стра­ниц, но они явились блистательным вкладом в развитие математики.

Юноша, страстно и неудержимо любивший эту науку, дважды пытался поступить в самое престижное учебное заведение Франции того времени – Политехническую школу – безуспешно. Начал учиться в привилегированной Высшей школе – отчислили из-за конфликта с директором. Став политическим заключенным после выступления против Луи-Филиппа, передал из тюрьмы в Парижскую академию наук рукопись с исследованием решения уравнения в радикалах. Академия отвергла эту работу. Нелепая смерть на дуэли оборвала жизнь этого незаурядного человека.

Множество, являющееся разностью множеств действительных и алгебраических чисел, называют множеством ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ЧИСЕЛ. Очевидно, каждое трансцендентное число не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами.

Вместе с тем, доказательство трансцендентности каких-либо отдельных чисел вызывало огромные трудности.

Лишь в 1882 году профессор Кенигсбергского университета Ф. Линдеман сумел доказать трансцендентность числа , откуда стала ясна невозможность решения задачи о квадратуре круга (построить с помощью циркуля и линейки квадрат, имеющий площадь данного круга). Мы видим, что идеи алгебры, анализа, геометрии взаимно проникают друг в друга.

Аксиоматическое введение действительных чисел далеко не единственное. Эти числа могут быть введены путем объединения множества рациональных и иррациональных чисел, или же, как бесконечные десятичные дроби, или с помощью сечений на множестве рациональных чисел.

*1) Этот материал взят из 7-ой главы книги:

Л.И. Лурье ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ / Учебное пособие / М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К о », - 2003, - 517 С.

Определение вложенных отрезков. Доказательство леммы Коши - Кантора о вложенных отрезках.

Содержание

Определение вложенных отрезков

Пусть a и b - два действительных числа (). И пусть . Множество чисел x , удовлетворяющих неравенствам , называется отрезком с концами a и b . Отрезок обозначается так: .

Последовательность числовых отрезков

называется последовательностью вложенных отрезков , если каждый последующий отрезок содержится в предыдущем:
.
То есть концы отрезков связаны неравенствами:
.

Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора)

Для любой последовательности вложенных отрезков существует точка , принадлежащая всем этим отрезкам.
Если длины отрезков стремятся к нулю:
,
то такая точка единственная.

Эту лемму также называют теоремой о вложенных отрезках или принципом Коши - Кантора .

Доказательство

Для доказательства первой части леммы , воспользуемся аксиомой полноты действительных чисел.

Аксиома полноты действительных чисел заключается в следующем. Пусть множества A и B есть два подмножества действительных чисел , таких что для любых двух элементов и этих множеств выполняется неравенство . Тогда существует такое действительное число c , что для всех и выполняются неравенства:
.

Применим эту аксиому. Пусть множество A есть множество левых концов отрезков, а множество B - правых. Тогда между двумя любыми элементами этих множеств выполняется неравенство . Тогда из аксиомы полноты действительных чисел следует, что существует такое число c , что для всех n выполняются неравенства:
.
Оно и означает, что точка c принадлежит всем отрезкам.

Докажем вторую часть леммы .

Пусть . В соответствии с определением предела последовательности , это означает, что для любого положительного числа существует такое натуральное число N , зависящее от ε , что для всех натуральных n > N выполняется неравенство
(1) .

Допустим противное. Пусть существует две различные точки c 1 и c 2 , c 1 ≠ c 2 , принадлежащие всем отрезкам. Это означает, что для всех n выполняются следующие неравенства:
;
.
Отсюда
.
Применяя (1) имеем:
.
Это неравенство должно выполняться для любых положительных значений ε . Отсюда следует, что
c 1 = c 2 .

Лемма доказана.

Замечание

Существование точки, принадлежащей всем отрезкам, вытекает из аксиомы полноты, которая справедлива для действительных чисел. К рациональным числам эта аксиома не применима. Поэтому к множеству рациональных чисел, лемма о вложенных отрезках также не применима.

Например, мы могли бы выбрать отрезки так, чтобы и левые и правые концы сходились к иррациональному числу . Тогда любое рациональное число, при увеличении n , всегда выпадало бы из системы отрезков. Единственное число, которое принадлежит всем отрезком - это иррациональное число .

Использованная литература:
О.В. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Аксиома непрерывности (полноты). $A\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}$ и $B\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}$ $a\; \backslash in\; A$ и $b\; \backslash in\; B$ выполняется неравенство $a\; \backslash leqslant\; b$, существует такое действительное число $\backslash xi$, что для всех $a\; \backslash in\; A$ и $b\; \backslash in\; B$ имеет место соотношение

$a\; \backslash leqslant\; \backslash xi\; \backslash leqslant\; b$

Геометрически, если трактовать действительные числа как точки на прямой , данное утверждение представляется очевидным. Если два множества $A$ и $B$ таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдется число $\backslash xi$, разделяющее эти два множества, то есть лежащее правее всех элементов $A$ (кроме, возможно, самого $\backslash xi$) и левее всех элементов $B$ (та же оговорка).

Здесь следует отметить, что несмотря на «очевидность» данного свойства, для рациональных чисел оно не всегда выполняется. Для примера, рассмотрим два множества:

A = \{x \in \mathbb{Q}: x > 0, \; x^2 < 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x > 0, \; x^2 > 2\}

Легко видеть, что для любых элементов $a\; \backslash in\; A$ и $b\; \backslash in\; B$ выполняется неравенство . Однако рационального числа $\backslash xi$, разделяющего эти два множества, не существует. В самом деле, этим числом может быть только $\backslash sqrt\{2\}$, но оно не является рациональным .

Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа

Значение аксиомы непрерывности таково, что без неё невозможно строгое построение математического анализа. Для иллюстрации приведем несколько фундаментальных утверждений анализа, доказательство которых опирается на непрерывность действительных чисел:

• (Теорема Вейерштрасса). Всякая ограниченная монотонно возрастающая последовательность сходится
• (Теорема Больцано - Коши). Непрерывная на отрезке функция, принимающая на его концах значения разного знака, обращается в нуль в некоторой внутренней точке отрезка
• (Существование степенной , показательной , логарифмической и всех тригонометрических функций на всей «естественной» области определения). Например, доказывается, что для всякого $a\; >\; 0$ и целого $n\; \backslash geqslant\; 1$ существует $\backslash sqrt[n]\{a\}$, то есть решение уравнения $x^n=a,\; x>0$. Это позволяет определить значение выражения $a^x$ для всех рациональных $x$:

$a^\{m/n\}\; =\; \backslash left(\backslash sqrt[n]\{a\}\backslash right)^m$

Наконец, снова благодаря непрерывности числовой прямой можно определить значение выражения $a^x$ уже для произвольного $x\; \backslash in\; \backslash R$. Аналогично, используя свойство непрерывности, доказывается существование числа $\backslash log\_\{a\}\{b\}$ для любых $a,b\; >0\; ,\; a\; \backslash neq\; 1$.

Длительный исторический промежуток времени математики доказывали теоремы из анализа, в «тонких местах» ссылаясь на геометрическое обоснование, а чаще - и вовсе их пропуская, поскольку это было очевидно. Важнейшее понятие непрерывности использовалось без какого-либо четкого определения. Лишь в последней трети XIX века немецкий математик Карл Вейерштрасс произвел арифметизацию анализа, построив первую строгую теорию действительных чисел как бесконечных десятичных дробей. Он предложил классическое определение предела на языке $\backslash varepsilon\; -\; \backslash delta$, доказал ряд утверждений, которые до него считались «очевидными», и тем самым завершил построение фундамента математического анализа.

Позднее были предложены другие подходы к определению действительного числа. В аксиоматическом подходе непрерывность действительных чисел выделена явно в отдельную аксиому. В конструктивных подходах к теории действительного числа, например при построении действительных чисел с помощью дедекиндовых сечений , свойство непрерывности (в той или иной формулировке) доказывается в качестве теоремы.

Другие формулировки свойства непрерывности и эквивалентные предложения

Существует несколько различных утверждений, выражающих свойство непрерывности действительных чисел. Каждый из этих принципов можно положить в основу построения теории действительного числа в качестве аксиомы непрерывности, и из него вывести все остальные . Подробнее этот вопрос обсуждается в следующем разделе.

Непрерывность по Дедекинду

Вопрос о непрерывности действительных чисел Дедекинд рассматривает в своей работе «Непрерывность и иррациональные числа » . В ней он сравнивает рациональные числа с точками прямой линии . Как известно, между рациональными числами и точками прямой можно установить соответствие , когда на прямой выбирают начальную точку и единицу измерения отрезков. При помощи последней можно по каждому рациональному числу $a$ построить соответствующий отрезок, и отложив его вправо или влево, смотря по тому, есть ли $a$ положительное или отрицательное число, получить точку $p$, соответствующую числу $a$. Таким образом, каждому рациональному числу $a$ соответствует одна и только одна точка $p$ на прямой.

При этом оказывается, что на прямой имеется бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Например, точка, полученная путём отложения длины диагонали квадрата построенного на единичном отрезке. Таким образом, область рациональных чисел не обладает той полнотой , или же непрерывностью , которая присуща прямой линии.

Чтобы выяснить в чем же состоит эта непрерывность, Дедекинд делает следующее замечание. Если $p$ есть определенная точка прямой, то все точки прямой распадаются на два класса : точки расположенные левее $p$, и точки расположенные правее $p$. Сама же точка $p$ может быть произвольно отнесена либо к нижнему, либо к верхнему классу. Дедекинд усматривает сущность непрерывности в обратном принципе:

Геометрически этот принцип представляется очевидным, однако доказать его мы не в состоянии. Дедекинд подчеркивает, что, по существу, этот принцип является постулатом , в котором выражена сущность того приписываемого прямой свойства, которое мы называем непрерывностью.

Это предложение также эквивалентно принципу непрерывности Дедекинда. Более того можно показать, что из утверждения теоремы о супремуме непосредственно вытекает утверждение теоремы об инфимуме, и наоборот (см. ниже).

Лемма о конечном покрытии (принцип Гейне - Бореля)

Лемма о конечном покрытии (Гейне - Борель). В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, существует конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса)

Лемма о предельной точке (Больцано - Вейерштрасс). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.

Эквивалентность предложений, выражающих непрерывность множества действительных чисел

Сделаем некоторые предварительные замечания. В соответствии с аксиоматическим определением действительного числа , совокупность действительных чисел удовлетворяет трем группам аксиом. Первая группа - аксиомы поля . Вторая группа выражает тот факт, что совокупность действительных чисел есть линейно упорядоченное множество , причем отношение порядка согласовано с основными операциями поля. Таким образом, первая и вторая группы аксиом означают, что совокупность действительных чисел представляет собой упорядоченное поле . Третья группа аксиом состоит из одной аксиомы - аксиомы непрерывности (или, полноты).

Чтобы показать эквивалентность различных формулировок непрерывности действительных чисел, следует доказать, что если для упорядоченого поля выполнено одно из этих предложений, то из этого вытекает справедливость всех остальных.

Теорема. Пусть $\backslash mathsf\{R\}$ - произвольное линейно упорядоченное множество . Следующие утверждения эквивалентны:

1. Каковы бы ни были непустые множества $A\; \backslash subset\; \backslash mathsf\{R\}$ и $B\; \backslash subset\; \backslash mathsf\{R\}$, такие что для любых двух элементов $a\; \backslash in\; A$ и $b\; \backslash in\; B$ выполняется неравенство $a\; \backslash leqslant\; b$, существует такой элемент $\backslash xi\; \backslash in\; \backslash mathsf\{R\}$, что для всех $a\; \backslash in\; A$ и $b\; \backslash in\; B$ имеет место соотношение $a\; \backslash leqslant\; \backslash xi\; \backslash leqslant\; b$
2. Для всякого сечения в $\backslash mathsf\{R\}$ существует элемент, производящий это сечение
3. Всякое непустое ограниченное сверху множество $A\; \backslash subset\; \backslash mathsf\{R\}$ имеет супремум
4. Всякое непустое ограниченное снизу множество $A\; \backslash subset\; \backslash mathsf\{R\}$ имеет инфимум

Как видно из этой теоремы, эти четыре предложения используют лишь то, что на $\backslash mathsf\{R\}$ введено отношение линейного порядка, и не используют структуру поля. Таким образом, каждое из них выражает свойство $\backslash mathsf\{R\}$ как линейно упорядоченного множества. Это свойство (произвольного линейно упорядоченного множества, не обязательно множества действительных чисел) называется непрерывностью, или полнотой, по Дедекинду .

Доказательство эквивалентности других предложений уже требует наличия структуры поля.

Теорема. Пусть $\backslash mathsf\{R\}$ - произвольное упорядоченное поле. Следующие предложения равносильны:

1. $\backslash mathsf\{R\}$ (как линейно упорядоченное множество) является полным по Дедекинду
2. Для $\backslash mathsf\{R\}$ выполнены принцип Архимеда и принцип вложенных отрезков
3. Для $\backslash mathsf\{R\}$ выполнен принцип Гейне - Бореля
4. Для $\backslash mathsf\{R\}$ выполнен принцип Больцано - Вейерштрасса

Замечание. Как видно из теоремы, принцип вложенных отрезков сам по себе не равносилен принципу непрерывности Дедекинда. Из принципа непрерывности Дедекинда следует принцип вложенных отрезков, однако для обратного требуется дополнительно потребовать, чтобы упорядоченное поле $\backslash mathsf\{R\}$ удовлетворяло аксиоме Архимеда

Доказательство приведенных теорем можно найти в книгах из списка литературы, приведенного ниже.

Напишите отзыв о статье "Непрерывность множества действительных чисел"

Примечания

Литература

• Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. - 5-е изд. - М .: «Дрофа», 2003. - Т. 1. - 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1 .
• Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. - 7-е изд. - М .: «ФИЗМАТЛИТ», 2002. - Т. 1. - 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X .
• Дедекинд, Р. = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-е исправленное издание. - Одесса: Mathesis, 1923. - 44 с.
• Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. - Изд. 4-е, испр.. - М .: «МЦНМО», 2002. - 657 с. - ISBN 5-94057-056-9 .
• Непрерывность функций и числовых областей: Б. Больцано, Л. О. Коши, Р. Дедекинд, Г. Кантор. - 3-е изд. - Новосибирск: АНТ, 2005. - 64 с.

Отрывок, характеризующий Непрерывность множества действительных чисел

– Так вот кого мне жалко – человеческого достоинства, спокойствия совести, чистоты, а не их спин и лбов, которые, сколько ни секи, сколько ни брей, всё останутся такими же спинами и лбами.
– Нет, нет и тысячу раз нет, я никогда не соглашусь с вами, – сказал Пьер.

Вечером князь Андрей и Пьер сели в коляску и поехали в Лысые Горы. Князь Андрей, поглядывая на Пьера, прерывал изредка молчание речами, доказывавшими, что он находился в хорошем расположении духа.
Он говорил ему, указывая на поля, о своих хозяйственных усовершенствованиях.
Пьер мрачно молчал, отвечая односложно, и казался погруженным в свои мысли.
Пьер думал о том, что князь Андрей несчастлив, что он заблуждается, что он не знает истинного света и что Пьер должен притти на помощь ему, просветить и поднять его. Но как только Пьер придумывал, как и что он станет говорить, он предчувствовал, что князь Андрей одним словом, одним аргументом уронит всё в его ученьи, и он боялся начать, боялся выставить на возможность осмеяния свою любимую святыню.
– Нет, отчего же вы думаете, – вдруг начал Пьер, опуская голову и принимая вид бодающегося быка, отчего вы так думаете? Вы не должны так думать.
– Про что я думаю? – спросил князь Андрей с удивлением.
– Про жизнь, про назначение человека. Это не может быть. Я так же думал, и меня спасло, вы знаете что? масонство. Нет, вы не улыбайтесь. Масонство – это не религиозная, не обрядная секта, как и я думал, а масонство есть лучшее, единственное выражение лучших, вечных сторон человечества. – И он начал излагать князю Андрею масонство, как он понимал его.
Он говорил, что масонство есть учение христианства, освободившегося от государственных и религиозных оков; учение равенства, братства и любви.
– Только наше святое братство имеет действительный смысл в жизни; всё остальное есть сон, – говорил Пьер. – Вы поймите, мой друг, что вне этого союза всё исполнено лжи и неправды, и я согласен с вами, что умному и доброму человеку ничего не остается, как только, как вы, доживать свою жизнь, стараясь только не мешать другим. Но усвойте себе наши основные убеждения, вступите в наше братство, дайте нам себя, позвольте руководить собой, и вы сейчас почувствуете себя, как и я почувствовал частью этой огромной, невидимой цепи, которой начало скрывается в небесах, – говорил Пьер.
Князь Андрей, молча, глядя перед собой, слушал речь Пьера. Несколько раз он, не расслышав от шума коляски, переспрашивал у Пьера нерасслышанные слова. По особенному блеску, загоревшемуся в глазах князя Андрея, и по его молчанию Пьер видел, что слова его не напрасны, что князь Андрей не перебьет его и не будет смеяться над его словами.
Они подъехали к разлившейся реке, которую им надо было переезжать на пароме. Пока устанавливали коляску и лошадей, они прошли на паром.
Князь Андрей, облокотившись о перила, молча смотрел вдоль по блестящему от заходящего солнца разливу.
– Ну, что же вы думаете об этом? – спросил Пьер, – что же вы молчите?
– Что я думаю? я слушал тебя. Всё это так, – сказал князь Андрей. – Но ты говоришь: вступи в наше братство, и мы тебе укажем цель жизни и назначение человека, и законы, управляющие миром. Да кто же мы – люди? Отчего же вы всё знаете? Отчего я один не вижу того, что вы видите? Вы видите на земле царство добра и правды, а я его не вижу.
Пьер перебил его. – Верите вы в будущую жизнь? – спросил он.
– В будущую жизнь? – повторил князь Андрей, но Пьер не дал ему времени ответить и принял это повторение за отрицание, тем более, что он знал прежние атеистические убеждения князя Андрея.
– Вы говорите, что не можете видеть царства добра и правды на земле. И я не видал его и его нельзя видеть, ежели смотреть на нашу жизнь как на конец всего. На земле, именно на этой земле (Пьер указал в поле), нет правды – всё ложь и зло; но в мире, во всем мире есть царство правды, и мы теперь дети земли, а вечно дети всего мира. Разве я не чувствую в своей душе, что я составляю часть этого огромного, гармонического целого. Разве я не чувствую, что я в этом огромном бесчисленном количестве существ, в которых проявляется Божество, – высшая сила, как хотите, – что я составляю одно звено, одну ступень от низших существ к высшим. Ежели я вижу, ясно вижу эту лестницу, которая ведет от растения к человеку, то отчего же я предположу, что эта лестница прерывается со мною, а не ведет дальше и дальше. Я чувствую, что я не только не могу исчезнуть, как ничто не исчезает в мире, но что я всегда буду и всегда был. Я чувствую, что кроме меня надо мной живут духи и что в этом мире есть правда.
– Да, это учение Гердера, – сказал князь Андрей, – но не то, душа моя, убедит меня, а жизнь и смерть, вот что убеждает. Убеждает то, что видишь дорогое тебе существо, которое связано с тобой, перед которым ты был виноват и надеялся оправдаться (князь Андрей дрогнул голосом и отвернулся) и вдруг это существо страдает, мучается и перестает быть… Зачем? Не может быть, чтоб не было ответа! И я верю, что он есть…. Вот что убеждает, вот что убедило меня, – сказал князь Андрей.
– Ну да, ну да, – говорил Пьер, – разве не то же самое и я говорю!
– Нет. Я говорю только, что убеждают в необходимости будущей жизни не доводы, а то, когда идешь в жизни рука об руку с человеком, и вдруг человек этот исчезнет там в нигде, и ты сам останавливаешься перед этой пропастью и заглядываешь туда. И, я заглянул…
– Ну так что ж! вы знаете, что есть там и что есть кто то? Там есть – будущая жизнь. Кто то есть – Бог.
Князь Андрей не отвечал. Коляска и лошади уже давно были выведены на другой берег и уже заложены, и уж солнце скрылось до половины, и вечерний мороз покрывал звездами лужи у перевоза, а Пьер и Андрей, к удивлению лакеев, кучеров и перевозчиков, еще стояли на пароме и говорили.
– Ежели есть Бог и есть будущая жизнь, то есть истина, есть добродетель; и высшее счастье человека состоит в том, чтобы стремиться к достижению их. Надо жить, надо любить, надо верить, – говорил Пьер, – что живем не нынче только на этом клочке земли, а жили и будем жить вечно там во всем (он указал на небо). Князь Андрей стоял, облокотившись на перила парома и, слушая Пьера, не спуская глаз, смотрел на красный отблеск солнца по синеющему разливу. Пьер замолк. Было совершенно тихо. Паром давно пристал, и только волны теченья с слабым звуком ударялись о дно парома. Князю Андрею казалось, что это полосканье волн к словам Пьера приговаривало: «правда, верь этому».
Князь Андрей вздохнул, и лучистым, детским, нежным взглядом взглянул в раскрасневшееся восторженное, но всё робкое перед первенствующим другом, лицо Пьера.
– Да, коли бы это так было! – сказал он. – Однако пойдем садиться, – прибавил князь Андрей, и выходя с парома, он поглядел на небо, на которое указал ему Пьер, и в первый раз, после Аустерлица, он увидал то высокое, вечное небо, которое он видел лежа на Аустерлицком поле, и что то давно заснувшее, что то лучшее что было в нем, вдруг радостно и молодо проснулось в его душе. Чувство это исчезло, как скоро князь Андрей вступил опять в привычные условия жизни, но он знал, что это чувство, которое он не умел развить, жило в нем. Свидание с Пьером было для князя Андрея эпохой, с которой началась хотя во внешности и та же самая, но во внутреннем мире его новая жизнь.

Уже смерклось, когда князь Андрей и Пьер подъехали к главному подъезду лысогорского дома. В то время как они подъезжали, князь Андрей с улыбкой обратил внимание Пьера на суматоху, происшедшую у заднего крыльца. Согнутая старушка с котомкой на спине, и невысокий мужчина в черном одеянии и с длинными волосами, увидав въезжавшую коляску, бросились бежать назад в ворота. Две женщины выбежали за ними, и все четверо, оглядываясь на коляску, испуганно вбежали на заднее крыльцо.
– Это Машины божьи люди, – сказал князь Андрей. – Они приняли нас за отца. А это единственно, в чем она не повинуется ему: он велит гонять этих странников, а она принимает их.
– Да что такое божьи люди? – спросил Пьер.
Князь Андрей не успел отвечать ему. Слуги вышли навстречу, и он расспрашивал о том, где был старый князь и скоро ли ждут его.
Старый князь был еще в городе, и его ждали каждую минуту.
Князь Андрей провел Пьера на свою половину, всегда в полной исправности ожидавшую его в доме его отца, и сам пошел в детскую.
– Пойдем к сестре, – сказал князь Андрей, возвратившись к Пьеру; – я еще не видал ее, она теперь прячется и сидит с своими божьими людьми. Поделом ей, она сконфузится, а ты увидишь божьих людей. C"est curieux, ma parole. [Это любопытно, честное слово.]
– Qu"est ce que c"est que [Что такое] божьи люди? – спросил Пьер
– А вот увидишь.
Княжна Марья действительно сконфузилась и покраснела пятнами, когда вошли к ней. В ее уютной комнате с лампадами перед киотами, на диване, за самоваром сидел рядом с ней молодой мальчик с длинным носом и длинными волосами, и в монашеской рясе.
На кресле, подле, сидела сморщенная, худая старушка с кротким выражением детского лица.
– Andre, pourquoi ne pas m"avoir prevenu? [Андрей, почему не предупредили меня?] – сказала она с кротким упреком, становясь перед своими странниками, как наседка перед цыплятами.
– Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, [Очень рада вас видеть. Я так довольна, что вижу вас,] – сказала она Пьеру, в то время, как он целовал ее руку. Она знала его ребенком, и теперь дружба его с Андреем, его несчастие с женой, а главное, его доброе, простое лицо расположили ее к нему. Она смотрела на него своими прекрасными, лучистыми глазами и, казалось, говорила: «я вас очень люблю, но пожалуйста не смейтесь над моими ». Обменявшись первыми фразами приветствия, они сели.
– А, и Иванушка тут, – сказал князь Андрей, указывая улыбкой на молодого странника.
– Andre! – умоляюще сказала княжна Марья.
– Il faut que vous sachiez que c"est une femme, [Знай, что это женщина,] – сказал Андрей Пьеру.
– Andre, au nom de Dieu! [Андрей, ради Бога!] – повторила княжна Марья.
Видно было, что насмешливое отношение князя Андрея к странникам и бесполезное заступничество за них княжны Марьи были привычные, установившиеся между ними отношения.
– Mais, ma bonne amie, – сказал князь Андрей, – vous devriez au contraire m"etre reconaissante de ce que j"explique a Pierre votre intimite avec ce jeune homme… [Но, мой друг, ты должна бы быть мне благодарна, что я объясняю Пьеру твою близость к этому молодому человеку.]
– Vraiment? [Правда?] – сказал Пьер любопытно и серьезно (за что особенно ему благодарна была княжна Марья) вглядываясь через очки в лицо Иванушки, который, поняв, что речь шла о нем, хитрыми глазами оглядывал всех.
Княжна Марья совершенно напрасно смутилась за своих. Они нисколько не робели. Старушка, опустив глаза, но искоса поглядывая на вошедших, опрокинув чашку вверх дном на блюдечко и положив подле обкусанный кусочек сахара, спокойно и неподвижно сидела на своем кресле, ожидая, чтобы ей предложили еще чаю. Иванушка, попивая из блюдечка, исподлобья лукавыми, женскими глазами смотрел на молодых людей.
– Где, в Киеве была? – спросил старуху князь Андрей.
– Была, отец, – отвечала словоохотливо старуха, – на самое Рожество удостоилась у угодников сообщиться святых, небесных тайн. А теперь из Колязина, отец, благодать великая открылась…
– Что ж, Иванушка с тобой?
– Я сам по себе иду, кормилец, – стараясь говорить басом, сказал Иванушка. – Только в Юхнове с Пелагеюшкой сошлись…
Пелагеюшка перебила своего товарища; ей видно хотелось рассказать то, что она видела.
– В Колязине, отец, великая благодать открылась.
– Что ж, мощи новые? – спросил князь Андрей.
– Полно, Андрей, – сказала княжна Марья. – Не рассказывай, Пелагеюшка.
– Ни… что ты, мать, отчего не рассказывать? Я его люблю. Он добрый, Богом взысканный, он мне, благодетель, рублей дал, я помню. Как была я в Киеве и говорит мне Кирюша юродивый – истинно Божий человек, зиму и лето босой ходит. Что ходишь, говорит, не по своему месту, в Колязин иди, там икона чудотворная, матушка пресвятая Богородица открылась. Я с тех слов простилась с угодниками и пошла…
Все молчали, одна странница говорила мерным голосом, втягивая в себя воздух.
– Пришла, отец мой, мне народ и говорит: благодать великая открылась, у матушки пресвятой Богородицы миро из щечки каплет…
– Ну хорошо, хорошо, после расскажешь, – краснея сказала княжна Марья.
– Позвольте у нее спросить, – сказал Пьер. – Ты сама видела? – спросил он.
– Как же, отец, сама удостоилась. Сияние такое на лике то, как свет небесный, а из щечки у матушки так и каплет, так и каплет…
– Да ведь это обман, – наивно сказал Пьер, внимательно слушавший странницу.
– Ах, отец, что говоришь! – с ужасом сказала Пелагеюшка, за защитой обращаясь к княжне Марье.
– Это обманывают народ, – повторил он.
– Господи Иисусе Христе! – крестясь сказала странница. – Ох, не говори, отец. Так то один анарал не верил, сказал: «монахи обманывают», да как сказал, так и ослеп. И приснилось ему, что приходит к нему матушка Печерская и говорит: «уверуй мне, я тебя исцелю». Вот и стал проситься: повези да повези меня к ней. Это я тебе истинную правду говорю, сама видела. Привезли его слепого прямо к ней, подошел, упал, говорит: «исцели! отдам тебе, говорит, в чем царь жаловал». Сама видела, отец, звезда в ней так и вделана. Что ж, – прозрел! Грех говорить так. Бог накажет, – поучительно обратилась она к Пьеру.
– Как же звезда то в образе очутилась? – спросил Пьер.
– В генералы и матушку произвели? – сказал князь Aндрей улыбаясь.
Пелагеюшка вдруг побледнела и всплеснула руками.
– Отец, отец, грех тебе, у тебя сын! – заговорила она, из бледности вдруг переходя в яркую краску.
– Отец, что ты сказал такое, Бог тебя прости. – Она перекрестилась. – Господи, прости его. Матушка, что ж это?… – обратилась она к княжне Марье. Она встала и чуть не плача стала собирать свою сумочку. Ей, видно, было и страшно, и стыдно, что она пользовалась благодеяниями в доме, где могли говорить это, и жалко, что надо было теперь лишиться благодеяний этого дома.
– Ну что вам за охота? – сказала княжна Марья. – Зачем вы пришли ко мне?…
– Нет, ведь я шучу, Пелагеюшка, – сказал Пьер. – Princesse, ma parole, je n"ai pas voulu l"offenser, [Княжна, я право, не хотел обидеть ее,] я так только. Ты не думай, я пошутил, – говорил он, робко улыбаясь и желая загладить свою вину. – Ведь это я, а он так, пошутил только.
Пелагеюшка остановилась недоверчиво, но в лице Пьера была такая искренность раскаяния, и князь Андрей так кротко смотрел то на Пелагеюшку, то на Пьера, что она понемногу успокоилась.

Странница успокоилась и, наведенная опять на разговор, долго потом рассказывала про отца Амфилохия, который был такой святой жизни, что от ручки его ладоном пахло, и о том, как знакомые ей монахи в последнее ее странствие в Киев дали ей ключи от пещер, и как она, взяв с собой сухарики, двое суток провела в пещерах с угодниками. «Помолюсь одному, почитаю, пойду к другому. Сосну, опять пойду приложусь; и такая, матушка, тишина, благодать такая, что и на свет Божий выходить не хочется».
Пьер внимательно и серьезно слушал ее. Князь Андрей вышел из комнаты. И вслед за ним, оставив божьих людей допивать чай, княжна Марья повела Пьера в гостиную.
– Вы очень добры, – сказала она ему.
– Ах, я право не думал оскорбить ее, я так понимаю и высоко ценю эти чувства!
Княжна Марья молча посмотрела на него и нежно улыбнулась. – Ведь я вас давно знаю и люблю как брата, – сказала она. – Как вы нашли Андрея? – спросила она поспешно, не давая ему времени сказать что нибудь в ответ на ее ласковые слова. – Он очень беспокоит меня. Здоровье его зимой лучше, но прошлой весной рана открылась, и доктор сказал, что он должен ехать лечиться. И нравственно я очень боюсь за него. Он не такой характер как мы, женщины, чтобы выстрадать и выплакать свое горе. Он внутри себя носит его. Нынче он весел и оживлен; но это ваш приезд так подействовал на него: он редко бывает таким. Ежели бы вы могли уговорить его поехать за границу! Ему нужна деятельность, а эта ровная, тихая жизнь губит его. Другие не замечают, а я вижу.
В 10 м часу официанты бросились к крыльцу, заслышав бубенчики подъезжавшего экипажа старого князя. Князь Андрей с Пьером тоже вышли на крыльцо.
– Это кто? – спросил старый князь, вылезая из кареты и угадав Пьера.
– AI очень рад! целуй, – сказал он, узнав, кто был незнакомый молодой человек.
Старый князь был в хорошем духе и обласкал Пьера.
Перед ужином князь Андрей, вернувшись назад в кабинет отца, застал старого князя в горячем споре с Пьером.
Пьер доказывал, что придет время, когда не будет больше войны. Старый князь, подтрунивая, но не сердясь, оспаривал его.
– Кровь из жил выпусти, воды налей, тогда войны не будет. Бабьи бредни, бабьи бредни, – проговорил он, но всё таки ласково потрепал Пьера по плечу, и подошел к столу, у которого князь Андрей, видимо не желая вступать в разговор, перебирал бумаги, привезенные князем из города. Старый князь подошел к нему и стал говорить о делах.
– Предводитель, Ростов граф, половины людей не доставил. Приехал в город, вздумал на обед звать, – я ему такой обед задал… А вот просмотри эту… Ну, брат, – обратился князь Николай Андреич к сыну, хлопая по плечу Пьера, – молодец твой приятель, я его полюбил! Разжигает меня. Другой и умные речи говорит, а слушать не хочется, а он и врет да разжигает меня старика. Ну идите, идите, – сказал он, – может быть приду, за ужином вашим посижу. Опять поспорю. Мою дуру, княжну Марью полюби, – прокричал он Пьеру из двери.
Пьер теперь только, в свой приезд в Лысые Горы, оценил всю силу и прелесть своей дружбы с князем Андреем. Эта прелесть выразилась не столько в его отношениях с ним самим, сколько в отношениях со всеми родными и домашними. Пьер с старым, суровым князем и с кроткой и робкой княжной Марьей, несмотря на то, что он их почти не знал, чувствовал себя сразу старым другом. Они все уже любили его. Не только княжна Марья, подкупленная его кроткими отношениями к странницам, самым лучистым взглядом смотрела на него; но маленький, годовой князь Николай, как звал дед, улыбнулся Пьеру и пошел к нему на руки. Михаил Иваныч, m lle Bourienne с радостными улыбками смотрели на него, когда он разговаривал с старым князем.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ Аксиоматика действительных чисел

✪ Введение. Действительные числа | матан #001 | Борис Трушин +

✪ Принцип вложенных отрезков | матан #003 | Борис Трушин!

✪ Различные принципы непрерывности | матан #004 | Борис Трушин!

✪ Аксиома непрерывности. Принцип вложенных орезков Кантора

Субтитры

Аксиома непрерывности

Следующее предложение представляет собой, пожалуй, наиболее простую и удобную для приложений формулировку свойства непрерывности действительных чисел. При аксиоматическом построении теории действительного числа данное утверждение, или эквивалентное ему, непременно входит в число аксиом действительного числа .

Аксиома непрерывности (полноты). A ⊂ R {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } и B ⊂ R {\displaystyle B\subset \mathbb {R} } и выполняется неравенство , существует такое действительное число ξ {\displaystyle \xi } , что для всех a ∈ A {\displaystyle a\in A} и b ∈ B {\displaystyle b\in B} имеет место соотношение

Геометрически, если трактовать действительные числа как точки на прямой , данное утверждение представляется очевидным. Если два множества A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдется число ξ {\displaystyle \xi } , разделяющее эти два множества, то есть лежащее правее всех элементов A {\displaystyle A} (кроме, возможно, самого ξ {\displaystyle \xi } ) и левее всех элементов B {\displaystyle B} (та же оговорка).

Здесь следует отметить, что несмотря на «очевидность» данного свойства, для рациональных чисел оно не всегда выполняется. Для примера, рассмотрим два множества:

A = { x ∈ Q: x > 0 , x 2 < 2 } , B = { x ∈ Q: x > 0 , x 2 > 2 } {\displaystyle A=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^{2}<2\},\quad B=\{x\in \mathbb {Q} :x>0,\;x^{2}>2\}}

Легко видеть, что для любых элементов a ∈ A {\displaystyle a\in A} и b ∈ B {\displaystyle b\in B} выполняется неравенство a < b {\displaystyle a. Однако рационального числа ξ {\displaystyle \xi } , разделяющего эти два множества, не существует. В самом деле, этим числом может быть только 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} , но оно не является рациональным .

Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа

Значение аксиомы непрерывности таково, что без неё невозможно строгое построение математического анализа. Для иллюстрации приведем несколько фундаментальных утверждений анализа, доказательство которых опирается на непрерывность действительных чисел:

• (Теорема Вейерштрасса). Всякая ограниченная монотонно возрастающая последовательность сходится
• (Теорема Больцано - Коши). Непрерывная на отрезке функция, принимающая на его концах значения разного знака, обращается в нуль в некоторой внутренней точке отрезка
• (Существование степенной , показательной , логарифмической и всех тригонометрических функций на всей «естественной» области определения). Например, доказывается, что для всякого a > 0 {\displaystyle a>0} и целого n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} существует a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} , то есть решение уравнения x n = a , x > 0 {\displaystyle x^{n}=a,x>0} . Это позволяет определить значение выражения для всех рациональных x {\displaystyle x} :

A m / n = (a n) m {\displaystyle a^{m/n}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}}

Наконец, снова благодаря непрерывности числовой прямой можно определить значение выражения a x {\displaystyle a^{x}} уже для произвольного x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } . Аналогично, используя свойство непрерывности, доказывается существование числа log a ⁡ b {\displaystyle \log _{a}{b}} для любых a , b > 0 , a ≠ 1 {\displaystyle a,b>0,a\neq 1} .

Длительный исторический промежуток времени математики доказывали теоремы из анализа, в «тонких местах» ссылаясь на геометрическое обоснование, а чаще - и вовсе их пропуская, поскольку это было очевидно. Важнейшее понятие непрерывности использовалось без какого-либо четкого определения. Лишь в последней трети XIX века немецкий математик Карл Вейерштрасс произвел арифметизацию анализа, построив первую строгую теорию действительных чисел как бесконечных десятичных дробей. Он предложил классическое определение предела на языке ε − δ {\displaystyle \varepsilon -\delta } , доказал ряд утверждений, которые до него считались «очевидными», и тем самым завершил построение фундамента математического анализа.

Позднее были предложены другие подходы к определению действительного числа. В аксиоматическом подходе непрерывность действительных чисел выделена явно в отдельную аксиому. В конструктивных подходах к теории действительного числа, например при построении действительных чисел с помощью дедекиндовых сечений , свойство непрерывности (в той или иной формулировке) доказывается в качестве теоремы.

Другие формулировки свойства непрерывности и эквивалентные предложения

Существует несколько различных утверждений, выражающих свойство непрерывности действительных чисел. Каждый из этих принципов можно положить в основу построения теории действительного числа в качестве аксиомы непрерывности, и из него вывести все остальные . Подробнее этот вопрос обсуждается в следующем разделе.

Непрерывность по Дедекинду

Вопрос о непрерывности действительных чисел Дедекинд рассматривает в своей работе «Непрерывность и иррациональные числа » . В ней он сравнивает рациональные числа с точками прямой линии . Как известно, между рациональными числами и точками прямой можно установить соответствие , когда на прямой выбирают начальную точку и единицу измерения отрезков. При помощи последней можно по каждому рациональному числу a {\displaystyle a} построить соответствующий отрезок, и отложив его вправо или влево, смотря по тому, есть ли a {\displaystyle a} положительное или отрицательное число, получить точку p {\displaystyle p} , соответствующую числу a {\displaystyle a} . Таким образом, каждому рациональному числу a {\displaystyle a} соответствует одна и только одна точка p {\displaystyle p} на прямой.

При этом оказывается, что на прямой имеется бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Например, точка, полученная путём отложения длины диагонали квадрата построенного на единичном отрезке. Таким образом, область рациональных чисел не обладает той полнотой , или же непрерывностью , которая присуща прямой линии.

Чтобы выяснить в чем же состоит эта непрерывность, Дедекинд делает следующее замечание. Если p {\displaystyle p} есть определенная точка прямой, то все точки прямой распадаются на два класса : точки расположенные левее p {\displaystyle p} , и точки расположенные правее p {\displaystyle p} . Сама же точка p {\displaystyle p} может быть произвольно отнесена либо к нижнему, либо к верхнему классу. Дедекинд усматривает сущность непрерывности в обратном принципе:

Геометрически этот принцип представляется очевидным, однако доказать его мы не в состоянии. Дедекинд подчеркивает, что, по существу, этот принцип является постулатом , в котором выражена сущность того приписываемого прямой свойства, которое мы называем непрерывностью.

Чтобы глубже понять сущность непрерывности числовой прямой в смысле Дедекинда, рассмотрим произвольное сечение множества действительных чисел, то есть разделение всех действительных чисел на два непустых класса, так что все числа одного класса лежат на числовой прямой левее всех чисел второго. Эти классы называются соответственно нижним и верхним классами сечения. Теоретически имеются 4 возможности:

1. В нижнем классе есть максимальный элемент , в верхнем классе нет минимального
2. В нижнем классе нет максимального элемента, а в верхнем классе есть минимальный
3. В нижнем классе есть максимальный, а в верхнем - минимальный элементы
4. В нижнем классе нет максимального, а в верхнем - минимального элементов

В первом и втором случаях максимальный элемент нижнего или минимальный элемент верхнего соответственно и производит данное сечение. В третьем случае мы имеем скачок , а в четвертом - пробел . Таким образом, непрерывность числовой прямой означает, что в множестве действительных чисел нет ни скачков, ни пробелов, то есть, образно говоря, нет пустот.

Это предложение также эквивалентно принципу непрерывности Дедекинда. Более того можно показать, что из утверждения теоремы о супремуме непосредственно вытекает утверждение теоремы об инфимуме, и наоборот (см. ниже).

Лемма о конечном покрытии (принцип Гейне - Бореля)

Лемма о конечном покрытии (Гейне - Борель). В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, существует конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса)

Лемма о предельной точке (Больцано - Вейерштрасс). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку. . Вторая группа выражает тот факт, что совокупность действительных чисел есть , причем отношение порядка согласовано с основными операциями поля. Таким образом, первая и вторая группы аксиом означают, что совокупность действительных чисел представляет собой упорядоченное поле . Третья группа аксиом состоит из одной аксиомы - аксиомы непрерывности (или, полноты).

Чтобы показать эквивалентность различных формулировок непрерывности действительных чисел, следует доказать, что если для упорядоченого поля выполнено одно из этих предложений, то из этого вытекает справедливость всех остальных.

Теорема. Пусть - произвольное линейно упорядоченное множество . Следующие утверждения эквивалентны:

1. Каковы бы ни были непустые множества и B ⊂ R {\displaystyle B\subset {\mathsf {R}}} , такие что для любых двух элементов a ∈ A {\displaystyle a\in A} и b ∈ B {\displaystyle b\in B} выполняется неравенство a ⩽ b {\displaystyle a\leqslant b} , существует такой элемент ξ ∈ R {\displaystyle \xi \in {\mathsf {R}}} , что для всех a ∈ A {\displaystyle a\in A} и b ∈ B {\displaystyle b\in B} имеет место соотношение a ⩽ ξ ⩽ b {\displaystyle a\leqslant \xi \leqslant b}
2. Для всякого сечения в R {\displaystyle {\mathsf {R}}} существует элемент, производящий это сечение
3. Всякое непустое ограниченное сверху множество A ⊂ R {\displaystyle A\subset {\mathsf {R}}} имеет супремум
4. Всякое непустое ограниченное снизу множество A ⊂ R {\displaystyle A\subset {\mathsf {R}}} имеет инфимум

Как видно из этой теоремы, эти четыре предложения используют лишь то, что на R {\displaystyle {\mathsf {R}}} введено отношение линейного порядка, и не используют структуру поля. Таким образом, каждое из них выражает свойство R {\displaystyle {\mathsf {R}}} как линейно упорядоченного множества. Это свойство (произвольного линейно упорядоченного множества, не обязательно множества действительных чисел) называется непрерывностью, или полнотой, по Дедекинду .

Доказательство эквивалентности других предложений уже требует наличия структуры поля.

Теорема. Пусть R {\displaystyle {\mathsf {R}}} - произвольное упорядоченное поле. Следующие предложения равносильны:

Замечание. Как видно из теоремы, принцип вложенных отрезков сам по себе не равносилен принципу непрерывности Дедекинда. Из принципа непрерывности Дедекинда следует принцип вложенных отрезков, однако для обратного требуется дополнительно потребовать, чтобы упорядоченное поле .

§ 7 . Фундамент анализа, 4

Полнота множества действительных чисел.

7.1. Вступление.

Определение. Действительным числом a назовем класс эквивалентности a фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Определение. Множество R классов эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел будем называть множеством действительных чисел.

1) lim a n = a Û " 0 < eÎR $ pÎN (" nÎN , n ³ p) Þ |a n - a| £ e

2) всякая последовательность (a n), которая является сходящейся, является также фундаментальной

" 0 < eÎR $ pÎN ((" mÎN , " nÎN , m ³ p, n ³ p) Þ |a m - a n | £ e)

Естественно попытаться по аналогии с §6 применить процедуру факторизации к множеству фундаментальных последовательностей действительных чисел. Не получим ли мы множество классов эквивалентности фундаментальных последовательностей действительных чисел, содержащее множество R в качестве собственного подмножества?

Оказывается, нет.

В этом § будет установлено замечательное свойство: свойство полноты множества действительных чисел, заключающееся в том, что любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится в R .

7.2. Приближение действительных чисел десятичными дробями.

Определение. Последовательность (q n) ограничена, если $ 0 < MÎQ , что (" nÎN |q n | £ M)

Теорема 1 . Каждая фундаментальная последовательность рациональных чисел ограничена.

Доказательство . Пусть (q n) - фундаментальная последовательность рациональных чисел, тогда, в силу фундаментальности, для e=1 найдется такое pÎN , что:

$ pÎN: ((" m ³ p) Þ |q n -q m | £ 1)

m = p -фиксируем, тогда " n ³ p |q n | £ |q p | + 1.

В самом деле: |q n | = |q n -q p +q p | £ |q n -q p | + |q p | Þ |q n | £ 1 + |q p |.

Полагая в качестве M = max (|q 1 |, |q 2 |, … , |q p-1 |, …, 1+|q p |) получим: " nÎN |q n | £ M.ð

В п.6.3. на множестве было задано унарное отношение “быть положительным“. Условимся писать “>0“. Тогда a ³ 0 Û (a > 0 или a = 0).

Теорема 2 . Пусть фундаментальная последовательность (q n) рациональных чисел представляет действительное число a, тогда:

а) ($ p 1 ÎN , $ MÎQ (" nÎN , " n ³ p 1) Þ |q n | £ M) Þ a £ M.

б) ($ p 2 ÎN , $ mÎQ (" nÎN , " n ³ p 2) Þ q n ³ m) Þ m £ a.

Доказательство. Поскольку " n³p 1 q n -M £ 0, то фундаментальная последовательность q n -M - разность фундаментальной последовательности (q n) и постоянной последовательности M не может быть положительной последовательностью, т.к. она либо нулевая, либо отрицательная.

Поэтому действительное число (a-M), представленное этой последовательностью, не может быть положительным, т.е. a-M £ 0, т.е. a£M.

Аналогично, рассматривается б).

Теорема 3 . Фундаментальная последовательность (q n) рациональных чисел представляет действительное число a тогда и только тогда, когда " 0R $pÎN , что "nÎN и n³p будет выполняться неравенство |q n -a| £ e:

(q n)Îa Û " 0 < eÎR $ pÎN (" nÎN , n³p) Þ |q n -a| £ e.

Доказательство. Докажем лишь необходимость. Очевидно, что " eÎR $ e 1 ÎQ (e 1 £e)

Пусть фундаментальная последовательность (q n) рациональных чисел является представителем числа a.

По условию она фундаментальна, т.е. " 0 < eÎQ $ pÎN (" nÎN, " mÎN , n³p, m³p) Þ |q n -q n | £ e/2.

Зафиксируем n³p, тогда получим фундаментальную последовательность (q m -q n): (q 1 -q n ; q 2 -q n ; … ; q n-1 -q n ; 0; q n+1 -q n ; …).

Все члены этой последовательности при m³p удовлетворяют неравенству: |q m -q n |£ e/2.

По теореме 2 и представленное этой последовательностью действительное число | a-q n | £ e/2.

| a-q n | £ e Î R "n³p. 

Теорема 4 . Каково бы ни было действительное число a, всегда найдется целое число M, что будет выполняться неравенство M£a

(" aÎR $! MÎZ (M £ a < M+1))

Доказательство.

Шаг 1. Доказательство существования.

Пусть фундаментальная последовательность (q n) рациональных чисел представляет действительное число a: ((q n)Îa). В силу Теоремы 1, $ LÎZ 0 , такое что " nÎN q n ³-L, q n £L: (-L£ q n £L).

По Теореме 3 (q n)Îa Û " e>0, eÎR $ pÎN : ((" nÎN , n³p) Þ ½q n -a½ £ e).

Тогда " n³p ½a½=½a- q n + q n ½£½a- q n ½+½ q n ½£ e + L.

½a½ £ e + L Û -L-e £ a £ L+e.

Т.к. e – произвольное число >0, то –L £ a £ L. После этого очевидно, что -1-L < a < L+1.

Тогда среди конечного множества целых чисел: -L-1, -L, -L+1, …, -1, 0, +1, …, L, L+1, найдем первое число M+1, для которого выполняется условие a < M+1.

Тогда число M не удовлетворяет неравенству M £ a < M+1, т.е. такое число M существует.

Шаг 2. Доказательство единственности.4